Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 336 x$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 3 x^{2} - 336 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 336 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 336 x)$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 336 x)$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 336 x)$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 336 x)$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 336 x)$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 336 x)$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 336 x)$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 336 x]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 336$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 336 x$ par rapport à $x$ est $- 336 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 336 \frac{d}{d x} x$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 336 \cdot 1$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $- 336$ par $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 336$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} + 6 x - 336$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 336]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 336)$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 336)$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 336)$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 336)$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 336)$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 336)$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 336)$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.2.4.1

Comme $- 336$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 336$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 + 0$

Étape 1.1.2.4.2

Additionnez $12 x + 6$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 6$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x + 6$ .

$12 x + 6$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x + 6 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x + 6 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$12 x = - 6$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $12 x = - 6$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $12 x = - 6$ par $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 6}{12}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 6}{12}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 6}{12}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $12$ .

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Étape 1.2.3.3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$x = \frac{6 (- 1)}{12}$

Étape 1.2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.3.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Étape 1.2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Étape 1.2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - \frac{1}{2})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f'' (- 3) = 12 (- 3) + 6$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Multipliez $12$ par $- 3$ .

$f'' (- 3) = - 36 + 6$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 36$ et $6$ .

$f'' (- 3) = - 30$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 30$ .

$- 30$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{1}{2})$ car $f'' (- 3)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - \frac{1}{2})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{1}{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 12 (0) + 6$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $12$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 6$

Étape 5.2.2

Additionnez $0$ et $6$ .

$f'' (0) = 6$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $6$ .

$6$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \frac{1}{2}, \infty)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \frac{1}{2}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - \frac{1}{2})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- \frac{1}{2}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7