Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 4) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.6.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3}$ .

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Étape 1.1.6.3.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 0}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.2.2

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{8 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Étape 1.2.2

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}})$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 1.2.3.3

Multipliez ${(x^{2} + 4)}^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Étape 1.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 1.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (2 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 1.2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 1.2.5.2

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de ${(x^{2} + 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 1.2.5.2.2

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $- 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) + (x^{2} + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 1.2.5.2.3

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) + (x^{2} + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]))$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Étape 1.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.6.1

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 1.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 1.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 1.2.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 1.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 1.2.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 1.2.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 1.2.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 1.2.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 1.2.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 1.2.15

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{- 3 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 1.2.16

Associez $8$ et $\frac{- 3 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 1.2.17

Simplifiez

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Étape 1.2.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 1.2.17.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.17.2.1

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$f'' (x) = \frac{- 24 x^{2} + 8 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 1.2.17.2.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 24 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 1.2.17.3

Factorisez $8$ à partir de $- 24 x^{2} + 32$ .

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Étape 1.2.17.3.1

Factorisez $8$ à partir de $- 24 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 32}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 1.2.17.3.2

Factorisez $8$ à partir de $32$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 (4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 1.2.17.3.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (- 3 x^{2}) + 8 (4)$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 1.2.17.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2}) + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 1.2.17.5

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 1.2.17.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2} - 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 1.2.17.7

Réécrivez $- (3 x^{2} - 4)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 1 (3 x^{2} - 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 1.2.17.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 (3 x^{2} - 4) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $8 (3 x^{2} - 4) = 0$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $8 (3 x^{2} - 4) = 0$ par $8$ .

$\frac{8 (3 x^{2} - 4)}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 (3 x^{2} - 4)}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $3 x^{2} - 4$ par $1$ .

$3 x^{2} - 4 = \frac{0}{8}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $8$ .

$3 x^{2} - 4 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 4$

Étape 2.3.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 4$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 2.3.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Étape 2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Étape 2.3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 2.3.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{4}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.5.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.3.5.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 2.3.5.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.3.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.5.4.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.3.5.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.3.5.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.3.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.3.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.3.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.3.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.3.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ dans $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.1.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.1.2.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.1.2.1.2.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.1.2.1.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.1.2.1.2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.1.2.1.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.1.2.1.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.1.2.1.2.3.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.1.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{12}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.1.2.1.5

Annulez le facteur commun à $12$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 (4)}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.1.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.1.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.1.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Étape 3.1.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Étape 3.1.2.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Étape 3.1.2.2.2.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.1.2.2.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Étape 3.1.2.2.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 4}$

Étape 3.1.2.2.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

Étape 3.1.2.2.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

Étape 3.1.2.2.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

Étape 3.1.2.2.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

Étape 3.1.2.2.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{9} + 4}$

Étape 3.1.2.2.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{12}{9} + 4}$

Étape 3.1.2.2.5

Annulez le facteur commun à $12$ et $9$ .

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Étape 3.1.2.2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 (4)}{9} + 4}$

Étape 3.1.2.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.2.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

Étape 3.1.2.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

Étape 3.1.2.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4}$

Étape 3.1.2.2.6

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 3.1.2.2.7

Associez $4$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.1.2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 4 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.1.2.2.9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.9.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 12}{3}}$

Étape 3.1.2.2.9.2

Additionnez $4$ et $12$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{16}{3}}$

Étape 3.1.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{16}$

Étape 3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 (4)}$

Étape 3.1.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 4}$

Étape 3.1.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Étape 3.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Étape 3.1.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4}$

Étape 3.1.2.6

La réponse finale est $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ dans $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ est $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

Étape 3.3

Remplacez $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ dans $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.3.2.1.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.3.2.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.3.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.4.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.3.2.1.4.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.3.2.1.4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.3.2.1.4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.3.2.1.4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.3.2.1.4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.3.2.1.4.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.3.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.3.2.1.6

Multipliez $4$ par $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{12}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.3.2.1.7

Annulez le facteur commun à $12$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.7.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 (4)}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.3.2.1.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.3.2.1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.3.2.1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4}{3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.3.2.1.8

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

Étape 3.3.2.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

Étape 3.3.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{1 (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

Étape 3.3.2.2.3

Multipliez $\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Étape 3.3.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.4.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Étape 3.3.2.2.4.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Étape 3.3.2.2.4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 4}$

Étape 3.3.2.2.4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

Étape 3.3.2.2.4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

Étape 3.3.2.2.4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

Étape 3.3.2.2.4.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

Étape 3.3.2.2.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{9} + 4}$

Étape 3.3.2.2.6

Multipliez $4$ par $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{12}{9} + 4}$

Étape 3.3.2.2.7

Annulez le facteur commun à $12$ et $9$ .

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Étape 3.3.2.2.7.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 (4)}{9} + 4}$

Étape 3.3.2.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

Étape 3.3.2.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

Étape 3.3.2.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4}$

Étape 3.3.2.2.8

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 3.3.2.2.9

Associez $4$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.3.2.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 4 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.3.2.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.2.11.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 12}{3}}$

Étape 3.3.2.2.11.2

Additionnez $4$ et $12$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{16}{3}}$

Étape 3.3.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{16}$

Étape 3.3.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 (4)}$

Étape 3.3.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 4}$

Étape 3.3.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Étape 3.3.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Étape 3.3.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4}$

Étape 3.3.2.6

La réponse finale est $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ dans $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ est $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.25470053$ dans l’expression.

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (3 {(- 1.25470053)}^{2} - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1.25470053$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (3 \cdot 1.57427344 - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $1.57427344$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (4.72282032 - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 5.2.1.3

Soustrayez $4$ de $4.72282032$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $- 1.25470053$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{(1.57427344 + 4)}^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $1.57427344$ et $4$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{5.57427344}^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $5.57427344$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{173.20674748}$

Étape 5.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $8$ par $0.72282032$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{5.78256258}{173.20674748}$

Étape 5.2.3.2

Divisez $5.78256258$ par $173.20674748$ .

$f'' (- 1.25470053) = - 1 \cdot 0.03338531$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $0.03338531$ .

$f'' (- 1.25470053) = - 0.03338531$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $- 0.03338531$ .

$- 0.03338531$

Étape 5.3

Sur $- 1.25470053$ , la dérivée seconde est $- 0.03338531$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Diminue sur $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - \frac{8 (3 {(0)}^{2} - 4)}{{({(0)}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (3 \cdot 0 - 4)}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (0 - 4)}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 6.2.1.3

Soustrayez $4$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{{(0 + 4)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{4^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{64}$

Étape 6.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $8$ par $- 4$ .

$f'' (0) = - \frac{- 32}{64}$

Étape 6.2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 32$ et $64$ .

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Étape 6.2.3.2.1

Factorisez $32$ à partir de $- 32$ .

$f'' (0) = - \frac{32 (- 1)}{64}$

Étape 6.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.2.2.1

Factorisez $32$ à partir de $64$ .

$f'' (0) = - \frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 2}$

Étape 6.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = - \frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 2}$

Étape 6.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = - \frac{- 1}{2}$

Étape 6.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (0) = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 6.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $0.5$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Augmente sur $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1.25470053$ dans l’expression.

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (3 {(1.25470053)}^{2} - 4)}{{({(1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $1.25470053$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (3 \cdot 1.57427344 - 4)}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $1.57427344$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (4.72282032 - 4)}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 7.2.1.3

Soustrayez $4$ de $4.72282032$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Élevez $1.25470053$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{(1.57427344 + 4)}^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $1.57427344$ et $4$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{5.57427344}^{3}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $5.57427344$ à la puissance $3$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{173.20674748}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $8$ par $0.72282032$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{5.78256258}{173.20674748}$

Étape 7.2.3.2

Divisez $5.78256258$ par $173.20674748$ .

$f'' (1.25470053) = - 1 \cdot 0.03338531$

Étape 7.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $0.03338531$ .

$f'' (1.25470053) = - 0.03338531$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- 0.03338531$ .

$- 0.03338531$

Étape 7.3

Sur $1.25470053$ , la dérivée seconde est $- 0.03338531$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

Diminue sur $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

Étape 9