Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = x^{2} - 2 x - 80$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x - 80$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 80]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 80]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 80]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 80]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 80]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 80]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 80$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 80$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2$

Étape 1.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - 2$ .

$2 x - 2$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - 2 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 2$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 2$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 2$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $2$ par $2$ .

$x = 1$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $1$ .

$1$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $g' (x) = 2 x - 2$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $g (x) = x^{2} - 2 x - 80$ augmente et diminue est $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$g' (0) = 2 (0) - 2$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$g' (0) = 0 - 2$

Étape 5.2.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$g' (0) = - 2$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 5.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $- 2$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 1)$ .

Diminue sur $(- \infty, 1)$ depuis $g' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$g' (2) = 2 (2) - 2$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$g' (2) = 4 - 2$

Étape 6.2.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$g' (2) = 2$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 6.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $2$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $g' (x) > 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(1, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 1)$

Étape 8