Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 8 + e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.3.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.5

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.5.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.5.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.6

Simplifiez

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Étape 2.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.6.2.1

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.6.2.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.6.2.1.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.6.2.2

Associez les termes opposés dans $8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

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Étape 2.1.6.2.2.1

Soustrayez $e^{2 x}$ de $e^{2 x}$ .

$\frac{8 e^{x} + 0}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.1.6.2.2.2

Additionnez $8 e^{x}$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}]$

Étape 2.2.2

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{({(8 + e^{x})}^{2})}^{2}}$

Étape 2.2.3

Multipliez les exposants dans ${({(8 + e^{x})}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 8 + e^{x}$ .

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Étape 2.2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 + e^{x}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Étape 2.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 u \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Étape 2.2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 + e^{x}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 (8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Étape 2.2.6

Différenciez.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Étape 2.2.6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Étape 2.2.6.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Étape 2.2.6.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Étape 2.2.7

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Étape 2.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x + x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Étape 2.2.9

Additionnez $x$ et $x$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Étape 2.2.10

Factorisez $8 + e^{x}$ à partir de ${(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})$ .

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Étape 2.2.10.1

Factorisez $8 + e^{x}$ à partir de ${(8 + e^{x})}^{2} e^{x}$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Étape 2.2.10.2

Factorisez $8 + e^{x}$ à partir de $- 2 e^{2 x} (8 + e^{x})$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) + (8 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Étape 2.2.10.3

Factorisez $8 + e^{x}$ à partir de $(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) + (8 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Étape 2.2.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.11.1

Factorisez $8 + e^{x}$ à partir de ${(8 + e^{x})}^{4}$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(8 + e^{x}) {(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 2.2.11.2

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(8 + e^{x}) {(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 2.2.11.3

Réécrivez l’expression.

$8 \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 2.2.12

Associez $8$ et $\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$ .

$\frac{8 ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 2.2.13

Simplifiez

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Étape 2.2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (8 e^{x} + e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 2.2.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (8 e^{x}) + 8 (e^{x} e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 2.2.13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.13.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.13.3.1.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 (e^{x} e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.2

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.13.3.1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{x + x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.2.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{2 x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{2 x} - 16 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.2

Soustrayez $16 e^{2 x}$ de $8 e^{2 x}$ .

$\frac{64 e^{x} - 8 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 2.2.13.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.13.4.1

Factorisez $8$ à partir de $64 e^{x} - 8 e^{2 x}$ .

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Étape 2.2.13.4.1.1

Factorisez $8$ à partir de $64 e^{x}$ .

$\frac{8 (8 e^{x}) - 8 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 2.2.13.4.1.2

Factorisez $8$ à partir de $- 8 e^{2 x}$ .

$\frac{8 (8 e^{x}) + 8 (- e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 2.2.13.4.1.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (8 e^{x}) + 8 (- e^{2 x})$ .

$\frac{8 (8 e^{x} - e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 2.2.13.4.2

Réécrivez $e^{2 x}$ comme ${(e^{x})}^{2}$ .

$\frac{8 (8 e^{x} - {(e^{x})}^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 2.2.13.4.3

Laissez $u = e^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $e^{x}$ par $u$ .

$\frac{8 (8 u - u^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 2.2.13.4.4

Factorisez $u$ à partir de $8 u - u^{2}$ .

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Étape 2.2.13.4.4.1

Factorisez $u$ à partir de $8 u$ .

$\frac{8 (u \cdot 8 - u^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 2.2.13.4.4.2

Factorisez $u$ à partir de $- u^{2}$ .

$\frac{8 (u \cdot 8 + u (- u))}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 2.2.13.4.4.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot 8 + u (- u)$ .

$\frac{8 (u (8 - u))}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 2.2.13.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$8 - e^{x} = 0$

Étape 3.3.2

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 3.3.2.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 3.3.2.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.3.2.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 3.3.3

Définissez $8 - e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Définissez $8 - e^{x}$ égal à $0$ .

$8 - e^{x} = 0$

Étape 3.3.3.2

Résolvez $8 - e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- e^{x} = - 8$

Étape 3.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- e^{x} = - 8$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- e^{x} = - 8$ par $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.2.2.2

Divisez $e^{x}$ par $1$ .

$e^{x} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.2.2.3.1

Divisez $- 8$ par $- 1$ .

$e^{x} = 8$

Étape 3.3.3.2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

Étape 3.3.3.2.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.4.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (8)$

Étape 3.3.3.2.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (8)$

Étape 3.3.3.2.4.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (8)$

Étape 3.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $8 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$ vraie.

$x = \ln (8)$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\ln (8)$ dans $f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\ln (8)$ dans l’expression.

$f (\ln (8)) = \frac{e^{\ln (8)}}{8 + e^{\ln (8)}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (8)) = \frac{8}{8 + e^{\ln (8)}}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (8)) = \frac{8}{8 + 8}$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $8$ et $8$ .

$f (\ln (8)) = \frac{8}{16}$

Étape 4.1.2.3

Annulez le facteur commun à $8$ et $16$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$f (\ln (8)) = \frac{8 (1)}{16}$

Étape 4.1.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$f (\ln (8)) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\ln (8)) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\ln (8)) = \frac{1}{2}$

Étape 4.1.2.4

La réponse finale est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $\ln (8)$ dans $f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ est $(\ln (8), \frac{1}{2})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\ln (8), \frac{1}{2})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, \ln (8)) \cup (\ln (8), \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \ln (8))$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1.97944154$ dans l’expression.

$f'' (1.97944154) = \frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$

Étape 6.2

La réponse finale est $\frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$

Étape 6.3

Sur $1.97944154$ , la dérivée seconde est $0.01245842$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, \ln (8))$ .

Augmente sur $(- \infty, \ln (8))$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\ln (8), \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2.17944154$ dans l’expression.

$f'' (2.17944154) = \frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$

Étape 7.2

La réponse finale est $\frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$

Étape 7.3

Sur $2.17944154$ , la dérivée seconde est $- 0.01245842$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(\ln (8), \infty)$

Diminue sur $(\ln (8), \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(\ln (8), \frac{1}{2})$ .

$(\ln (8), \frac{1}{2})$

Étape 9