Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$

Étape 1

Écrivez $y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 16 x - 12$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 16 x - 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.4.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 + 0$

Étape 2.2.4.2

Additionnez $6 x - 16$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 16$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x - 16$ .

$6 x - 16$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x - 16 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$6 x - 16 = 0$

Étape 3.2

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x = 16$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $6 x = 16$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 16$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{16}{6}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{16}{6}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{16}{6}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Annulez le facteur commun à $16$ et $6$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$x = \frac{2 (8)}{6}$

Étape 3.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{8}{3}$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{8}{3}$ dans $f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{8}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Étape 4.1.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 \frac{8^{2}}{3^{2}} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Étape 4.1.2.1.5

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 \frac{64}{3^{2}} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Étape 4.1.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 (\frac{64}{9}) - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Étape 4.1.2.1.7

Multipliez $- 8 (\frac{64}{9})$ .

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Étape 4.1.2.1.7.1

Associez $- 8$ et $\frac{64}{9}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 8 \cdot 64}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Étape 4.1.2.1.7.2

Multipliez $- 8$ par $64$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 512}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Étape 4.1.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Étape 4.1.2.1.9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.1.9.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} + 3 (- 4) (\frac{8}{3}) + 9$

Étape 4.1.2.1.9.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} + 3 \cdot (- 4 (\frac{8}{3})) + 9$

Étape 4.1.2.1.9.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 4 \cdot 8 + 9$

Étape 4.1.2.1.10

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 32 + 9$

Étape 4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $\frac{512}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - (\frac{512}{9} \cdot \frac{3}{3}) - 32 + 9$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{512}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 32 + 9$

Étape 4.1.2.2.3

Écrivez $- 32$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32}{1} + 9$

Étape 4.1.2.2.4

Multipliez $\frac{- 32}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32}{1} \cdot \frac{27}{27} + 9$

Étape 4.1.2.2.5

Multipliez $\frac{- 32}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + 9$

Étape 4.1.2.2.6

Écrivez $9$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9}{1}$

Étape 4.1.2.2.7

Multipliez $\frac{9}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 4.1.2.2.8

Multipliez $\frac{9}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

Étape 4.1.2.2.9

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

Étape 4.1.2.2.10

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{27} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 512 \cdot 3 - 32 \cdot 27 + 9 \cdot 27}{27}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $- 512$ par $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 32 \cdot 27 + 9 \cdot 27}{27}$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $- 32$ par $27$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 864 + 9 \cdot 27}{27}$

Étape 4.1.2.4.3

Multipliez $9$ par $27$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 864 + 243}{27}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.5.1

Soustrayez $1536$ de $512$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1024 - 864 + 243}{27}$

Étape 4.1.2.5.2

Soustrayez $864$ de $- 1024$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1888 + 243}{27}$

Étape 4.1.2.5.3

Additionnez $- 1888$ et $243$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1645}{27}$

Étape 4.1.2.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{8}{3}) = - \frac{1645}{27}$

Étape 4.1.2.6

La réponse finale est $- \frac{1645}{27}$ .

$- \frac{1645}{27}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{8}{3}$ dans $f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ est $(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, \frac{8}{3}) \cup (\frac{8}{3}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{8}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2.5\overline{6}$ dans l’expression.

$f'' (2.5\overline{6}) = 6 (2.5\overline{6}) - 16$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $6$ par $2.5\overline{6}$ .

$f'' (2.5\overline{6}) = 15.3\overline{9} - 16$

Étape 6.2.2

Soustrayez $16$ de $15.3\overline{9}$ .

$f'' (2.5\overline{6}) = - 0.6$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 0.6$ .

$- 0.6$

Étape 6.3

Sur $2.5\overline{6}$ , la dérivée seconde est $- 0.6$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, \frac{8}{3})$

Diminue sur $(- \infty, \frac{8}{3})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{8}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2.7\overline{6}$ dans l’expression.

$f'' (2.7\overline{6}) = 6 (2.7\overline{6}) - 16$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez $6$ par $2.7\overline{6}$ .

$f'' (2.7\overline{6}) = 16.5\overline{9} - 16$

Étape 7.2.2

Soustrayez $16$ de $16.5\overline{9}$ .

$f'' (2.7\overline{6}) = 0.5\overline{9}$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $0.5\overline{9}$ .

$0.5\overline{9}$

Étape 7.3

Sur $2.7\overline{6}$ , la dérivée seconde est $0.5\overline{9}$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{8}{3}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{8}{3}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$ .

$(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$

Étape 9