Calcul infinitésimal Exemples

$y = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$

Étape 1

Écrivez $y = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ comme une fonction.

$f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.1.4.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 + 0$

Étape 2.1.5.2

Additionnez $- 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4$ et $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 x + 0$

Étape 2.2.4.2

Additionnez $- 12 x^{2} + 24 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 x$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 12 x^{2} + 24 x$ .

$- 12 x^{2} + 24 x$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 12 x^{2} + 24 x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 12 x^{2} + 24 x = 0$

Étape 3.2

Factorisez $- 12 x$ à partir de $- 12 x^{2} + 24 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Factorisez $- 12 x$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$- 12 x \cdot x + 24 x = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $- 12 x$ à partir de $24 x$ .

$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot - 2 = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez $- 12 x$ à partir de $- 12 x (x) - 12 x (- 2)$ .

$- 12 x (x - 2) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 12 x (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{3} - 4 \cdot 0 + 2$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = - 0 + 4 {(0)}^{3} - 4 \cdot 0 + 2$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{3} - 4 \cdot 0 + 2$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 2$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 4 \cdot 0 + 2$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 2$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Étape 4.1.2.2.3

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (0) = 2$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ est $(0, 2)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 2)$

Étape 4.3

Remplacez $2$ dans $f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = - {(2)}^{4} + 4 {(2)}^{3} - 4 \cdot 2 + 2$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (2) = - 1 \cdot 16 + 4 {(2)}^{3} - 4 \cdot 2 + 2$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$f (2) = - 16 + 4 {(2)}^{3} - 4 \cdot 2 + 2$

Étape 4.3.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (2) = - 16 + 4 \cdot 8 - 4 \cdot 2 + 2$

Étape 4.3.2.1.4

Multipliez $4$ par $8$ .

$f (2) = - 16 + 32 - 4 \cdot 2 + 2$

Étape 4.3.2.1.5

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f (2) = - 16 + 32 - 8 + 2$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Additionnez $- 16$ et $32$ .

$f (2) = 16 - 8 + 2$

Étape 4.3.2.2.2

Soustrayez $8$ de $16$ .

$f (2) = 8 + 2$

Étape 4.3.2.2.3

Additionnez $8$ et $2$ .

$f (2) = 10$

Étape 4.3.2.3

La réponse finale est $10$ .

$10$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $2$ dans $f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ est $(2, 10)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(2, 10)$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 2), (2, 10)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.1$ dans l’expression.

$f'' (- 0.1) = - 12 {(- 0.1)}^{2} + 24 (- 0.1)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 12 \cdot 0.01 + 24 (- 0.1)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 12$ par $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.12 + 24 (- 0.1)$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $24$ par $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.12 - 2.4$

Étape 6.2.2

Soustrayez $2.4$ de $- 0.12$ .

$f'' (- 0.1) = - 2.52$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 2.52$ .

$- 2.52$

Étape 6.3

Sur $- 0.1$ , la dérivée seconde est $- 2.52$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, 0)$

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f'' (1) = - 12 {(1)}^{2} + 24 (1)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (1) = - 12 \cdot 1 + 24 (1)$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f'' (1) = - 12 + 24 (1)$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $24$ par $1$ .

$f'' (1) = - 12 + 24$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 12$ et $24$ .

$f'' (1) = 12$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 7.3

Sur $1$ , la dérivée seconde est $12$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0, 2)$ .

Augmente sur $(0, 2)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2.1$ dans l’expression.

$f'' (2.1) = - 12 {(2.1)}^{2} + 24 (2.1)$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Élevez $2.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (2.1) = - 12 \cdot 4.41 + 24 (2.1)$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 12$ par $4.41$ .

$f'' (2.1) = - 52.92 + 24 (2.1)$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $24$ par $2.1$ .

$f'' (2.1) = - 52.92 + 50.4$

Étape 8.2.2

Additionnez $- 52.92$ et $50.4$ .

$f'' (2.1) = - 2.52$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 2.52$ .

$- 2.52$

Étape 8.3

Sur $2.1$ , la dérivée seconde est $- 2.52$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(2, \infty)$

Diminue sur $(2, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 2), (2, 10)$ .

$(0, 2), (2, 10)$

Étape 10