Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x {(x - 3)}^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 3)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 3)}^{3})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x - 3)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{3}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 3$ .

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Étape 1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 3$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.4

Différenciez.

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Étape 1.1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.4.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.4.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \cdot 1)$

Étape 1.1.4.6

Multipliez ${(x - 3)}^{3}$ par $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3})$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

Étape 1.1.5.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f' (x) = 9 (x ({(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

Étape 1.1.5.3

Factorisez $3 {(x - 3)}^{2}$ à partir de $9 x {(x - 3)}^{2} + 3 {(x - 3)}^{3}$ .

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Étape 1.1.5.3.1

Factorisez $3 {(x - 3)}^{2}$ à partir de $9 x {(x - 3)}^{2}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{3}$

Étape 1.1.5.3.2

Factorisez $3 {(x - 3)}^{2}$ à partir de $3 {(x - 3)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$

Étape 1.1.5.3.3

Factorisez $3 {(x - 3)}^{2}$ à partir de $3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x + x - 3)$

Étape 1.1.5.4

Additionnez $3 x$ et $x$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (4 x - 3)$

Étape 1.1.5.5

Réécrivez ${(x - 3)}^{2}$ comme $(x - 3) (x - 3)$ .

$f' (x) = 3 ((x - 3) (x - 3)) (4 x - 3)$

Étape 1.1.5.6

Développez $(x - 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 3 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

Étape 1.1.5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

Étape 1.1.5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

Étape 1.1.5.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.5.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.5.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

Étape 1.1.5.7.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

Étape 1.1.5.7.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (4 x - 3)$

Étape 1.1.5.7.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)$

Étape 1.1.5.8

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

Étape 1.1.5.9

Simplifiez

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Étape 1.1.5.9.1

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

Étape 1.1.5.9.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$

Étape 1.1.5.10

Développez $(3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Étape 1.1.5.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.5.11.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Étape 1.1.5.11.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.5.11.2.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Étape 1.1.5.11.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.5.11.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Étape 1.1.5.11.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Étape 1.1.5.11.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Étape 1.1.5.11.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Étape 1.1.5.11.4

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Étape 1.1.5.11.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x \cdot x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Étape 1.1.5.11.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.5.11.6.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 (x \cdot x)) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Étape 1.1.5.11.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x^{2}) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Étape 1.1.5.11.7

Multipliez $- 18$ par $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Étape 1.1.5.11.8

Multipliez $- 3$ par $- 18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Étape 1.1.5.11.9

Multipliez $4$ par $27$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x + 27 \cdot - 3$

Étape 1.1.5.11.10

Multipliez $27$ par $- 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

Étape 1.1.5.12

Soustrayez $72 x^{2}$ de $- 9 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

Étape 1.1.5.13

Additionnez $54 x$ et $108 x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [162 x] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 81 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 81 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 (2 x) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 81$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Étape 1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [162 x]$ .

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Étape 1.2.4.1

Comme $162$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $162 x$ par rapport à $x$ est $162 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 81)$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $162$ par $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + \frac{d}{d x} (- 81)$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.2.5.1

Comme $- 81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 81$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + 0$

Étape 1.2.5.2

Additionnez $36 x^{2} - 162 x + 162$ et $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $36 x^{2} - 162 x + 162$ .

$36 x^{2} - 162 x + 162$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $18$ à partir de $36 x^{2} - 162 x + 162$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $18$ à partir de $36 x^{2}$ .

$18 (2 x^{2}) - 162 x + 162 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $18$ à partir de $- 162 x$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 162 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $18$ à partir de $162$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 18 (9) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $18$ à partir de $18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x)$ .

$18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $18$ à partir de $18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9)$ .

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ et dont la somme est $b = - 9$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 x$ .

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 9$ comme $- 3$ plus $- 6$

$18 (2 x^{2} + (- 3 - 6) x + 9) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$18 (2 x^{2} - 3 x - 6 x + 9) = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$18 ((2 x^{2} - 3 x) - 6 x + 9) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$18 (x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3)) = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 3$ .

$18 ((2 x - 3) (x - 3)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $2 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 2.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{3}{2}, 3$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{3}{2}$ dans $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3}{2}) = 3 (\frac{3}{2}) {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $3 (\frac{3}{2})$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Associez $3$ et $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3 \cdot 3}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

Étape 3.1.2.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{3}$

Étape 3.1.2.3

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

Étape 3.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

Étape 3.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 6}{2})}^{3}$

Étape 3.1.2.5.2

Soustrayez $6$ de $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{- 3}{2})}^{3}$

Étape 3.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{3}$

Étape 3.1.2.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.2.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3})$

Étape 3.1.2.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}))$

Étape 3.1.2.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3^{3}}{2^{3}})$

Étape 3.1.2.9

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{2^{3}})$

Étape 3.1.2.10

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{8})$

Étape 3.1.2.11

Multipliez $\frac{9}{2} (- \frac{27}{8})$ .

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Étape 3.1.2.11.1

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{27}{8}$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{9 \cdot 27}{2 \cdot 8}$

Étape 3.1.2.11.2

Multipliez $9$ par $27$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{2 \cdot 8}$

Étape 3.1.2.11.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{16}$

Étape 3.1.2.12

La réponse finale est $- \frac{243}{16}$ .

$- \frac{243}{16}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{3}{2}$ dans $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ est $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$

Étape 3.3

Remplacez $3$ dans $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = 3 (3) {((3) - 3)}^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (3) = 9 {((3) - 3)}^{3}$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (3) = 9 \cdot 0^{3}$

Étape 3.3.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (3) = 9 \cdot 0$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $9$ par $0$ .

$f (3) = 0$

Étape 3.3.2.5

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $3$ dans $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ est $(3, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(3, 0)$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{3}{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $1.4$ dans l’expression.

$f'' (1.4) = 36 {(1.4)}^{2} - 162 \cdot 1.4 + 162$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $1.4$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.4) = 36 \cdot 1.96 - 162 \cdot 1.4 + 162$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $36$ par $1.96$ .

$f'' (1.4) = 70.56 - 162 \cdot 1.4 + 162$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 162$ par $1.4$ .

$f'' (1.4) = 70.56 - 226.8 + 162$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $226.8$ de $70.56$ .

$f'' (1.4) = - 156.24 + 162$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 156.24$ et $162$ .

$f'' (1.4) = 5.76$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $5.76$ .

$5.76$

Étape 5.3

Sur $1.4$ , la dérivée seconde est $5.76$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, \frac{3}{2})$ .

Augmente sur $(- \infty, \frac{3}{2})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{3}{2}, 3)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2.25$ dans l’expression.

$f'' (2.25) = 36 {(2.25)}^{2} - 162 \cdot 2.25 + 162$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $2.25$ à la puissance $2$ .

$f'' (2.25) = 36 \cdot 5.0625 - 162 \cdot 2.25 + 162$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $36$ par $5.0625$ .

$f'' (2.25) = 182.25 - 162 \cdot 2.25 + 162$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 162$ par $2.25$ .

$f'' (2.25) = 182.25 - 364.5 + 162$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $364.5$ de $182.25$ .

$f'' (2.25) = - 182.25 + 162$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 182.25$ et $162$ .

$f'' (2.25) = - 20.25$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 20.25$ .

$- 20.25$

Étape 6.3

Sur $2.25$ , la dérivée seconde est $- 20.25$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(\frac{3}{2}, 3)$

Diminue sur $(\frac{3}{2}, 3)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $3.1$ dans l’expression.

$f'' (3.1) = 36 {(3.1)}^{2} - 162 \cdot 3.1 + 162$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $3.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (3.1) = 36 \cdot 9.61 - 162 \cdot 3.1 + 162$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $36$ par $9.61$ .

$f'' (3.1) = 345.96 - 162 \cdot 3.1 + 162$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 162$ par $3.1$ .

$f'' (3.1) = 345.96 - 502.2 + 162$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $502.2$ de $345.96$ .

$f'' (3.1) = - 156.24 + 162$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $- 156.24$ et $162$ .

$f'' (3.1) = 5.76$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $5.76$ .

$5.76$

Étape 7.3

Sur $3.1$ , la dérivée seconde est $5.76$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(3, \infty)$ .

Augmente sur $(3, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$ .

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

Étape 9