Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - \frac{d}{d x} x^{4}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - (4 x^{3})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4 x^{3}$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{3} + 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12 (2 x)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 x$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 12 x^{2} + 24 x$ .

$- 12 x^{2} + 24 x$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 12 x^{2} + 24 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 12 x^{2} + 24 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $- 12 x$ à partir de $- 12 x^{2} + 24 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $- 12 x$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$- 12 x \cdot x + 24 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $- 12 x$ à partir de $24 x$ .

$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot - 2 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $- 12 x$ à partir de $- 12 x (x) - 12 x (- 2)$ .

$- 12 x (x - 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 12 x (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = 4 x^{3} - x^{4}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 4 {(0)}^{3} - {(0)}^{4}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 - {(0)}^{4}$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4}$

Étape 3.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = 4 x^{3} - x^{4}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 3.3

Remplacez $2$ dans $f (x) = 4 x^{3} - x^{4}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = 4 {(2)}^{3} - {(2)}^{4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (2) = 4 \cdot 8 - {(2)}^{4}$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$f (2) = 32 - {(2)}^{4}$

Étape 3.3.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (2) = 32 - 1 \cdot 16$

Étape 3.3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$f (2) = 32 - 16$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $16$ de $32$ .

$f (2) = 16$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $16$ .

$16$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $2$ dans $f (x) = 4 x^{3} - x^{4}$ est $(2, 16)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(2, 16)$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 0), (2, 16)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.1$ dans l’expression.

$f'' (- 0.1) = - 12 {(- 0.1)}^{2} + 24 (- 0.1)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 12 \cdot 0.01 + 24 (- 0.1)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 12$ par $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.12 + 24 (- 0.1)$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $24$ par $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.12 - 2.4$

Étape 5.2.2

Soustrayez $2.4$ de $- 0.12$ .

$f'' (- 0.1) = - 2.52$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 2.52$ .

$- 2.52$

Étape 5.3

Sur $- 0.1$ , la dérivée seconde est $- 2.52$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, 0)$

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f'' (1) = - 12 {(1)}^{2} + 24 (1)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (1) = - 12 \cdot 1 + 24 (1)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f'' (1) = - 12 + 24 (1)$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $24$ par $1$ .

$f'' (1) = - 12 + 24$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 12$ et $24$ .

$f'' (1) = 12$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 6.3

Sur $1$ , la dérivée seconde est $12$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0, 2)$ .

Augmente sur $(0, 2)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2.1$ dans l’expression.

$f'' (2.1) = - 12 {(2.1)}^{2} + 24 (2.1)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $2.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (2.1) = - 12 \cdot 4.41 + 24 (2.1)$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 12$ par $4.41$ .

$f'' (2.1) = - 52.92 + 24 (2.1)$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $24$ par $2.1$ .

$f'' (2.1) = - 52.92 + 50.4$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 52.92$ et $50.4$ .

$f'' (2.1) = - 2.52$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 2.52$ .

$- 2.52$

Étape 7.3

Sur $2.1$ , la dérivée seconde est $- 2.52$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(2, \infty)$

Diminue sur $(2, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (2, 16)$ .

$(0, 0), (2, 16)$

Étape 9