Calcul infinitésimal Exemples

$x - 2 \sin (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = 1 - 2 \cos (x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $1 - 2 \cos (x)$ .

$1 - 2 \cos (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $1 - 2 \cos (x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$1 - 2 \cos (x) = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \cos (x) = - 1$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos (x) = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos (x) = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 2.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 2.6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 2.7

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 2.7.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 2.7.2

Associez les fractions.

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Étape 2.7.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 2.7.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 2.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 2.7.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 2.8

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.9

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x - 2 \sin (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{π}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{3}$ .

$(\frac{π}{3}) - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{π}{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{3} - 1 \sqrt{3}$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$\frac{π}{3} - \sqrt{3}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{7 π}{3}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{7 π}{3}$ .

$(\frac{7 π}{3}) - 2 \sin (\frac{7 π}{3})$

Étape 4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{7 π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 4.2.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{7 π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{7 π}{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 π}{3} - 1 \sqrt{3}$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$\frac{7 π}{3} - \sqrt{3}$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = \frac{13 π}{3}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{13 π}{3}$ .

$(\frac{13 π}{3}) - 2 \sin (\frac{13 π}{3})$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{13 π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 4.3.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{13 π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{13 π}{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{13 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{13 π}{3} - 1 \sqrt{3}$

Étape 4.3.2.4

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$\frac{13 π}{3} - \sqrt{3}$

Étape 4.4

Évaluez sur $x = \frac{19 π}{3}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez $x$ par $\frac{19 π}{3}$ .

$(\frac{19 π}{3}) - 2 \sin (\frac{19 π}{3})$

Étape 4.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{19 π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 4.4.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{19 π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{19 π}{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{19 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{19 π}{3} - 1 \sqrt{3}$

Étape 4.4.2.4

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$\frac{19 π}{3} - \sqrt{3}$

Étape 4.5

Évaluez sur $x = \frac{25 π}{3}$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez $x$ par $\frac{25 π}{3}$ .

$(\frac{25 π}{3}) - 2 \sin (\frac{25 π}{3})$

Étape 4.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{25 π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 4.5.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{25 π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.5.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{25 π}{3} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.5.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.5.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{25 π}{3} - 1 \sqrt{3}$

Étape 4.5.2.4

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$\frac{25 π}{3} - \sqrt{3}$

Étape 4.6

Évaluez sur $x = \frac{5 π}{3}$ .

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Étape 4.6.1

Remplacez $x$ par $\frac{5 π}{3}$ .

$(\frac{5 π}{3}) - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 4.6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$\frac{5 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.6.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{5 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.6.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{5 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.6.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{5 π}{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.6.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.6.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

Étape 4.6.2.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{5 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

Étape 4.6.2.5

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{5 π}{3} + \sqrt{3}$

Étape 4.7

Évaluez sur $x = \frac{11 π}{3}$ .

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Étape 4.7.1

Remplacez $x$ par $\frac{11 π}{3}$ .

$(\frac{11 π}{3}) - 2 \sin (\frac{11 π}{3})$

Étape 4.7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.7.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{11 π}{3} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 4.7.2.2

$\frac{11 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.7.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{11 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.7.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.7.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{11 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.7.2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{11 π}{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.7.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.7.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{11 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

Étape 4.7.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{11 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

Étape 4.7.2.6

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{11 π}{3} + \sqrt{3}$

Étape 4.8

Évaluez sur $x = \frac{17 π}{3}$ .

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Étape 4.8.1

Remplacez $x$ par $\frac{17 π}{3}$ .

$(\frac{17 π}{3}) - 2 \sin (\frac{17 π}{3})$

Étape 4.8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.8.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{17 π}{3} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 4.8.2.2

$\frac{17 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.8.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{17 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.8.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.8.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{17 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.8.2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{17 π}{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.8.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{17 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.8.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{17 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

Étape 4.8.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{17 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

Étape 4.8.2.6

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{17 π}{3} + \sqrt{3}$

Étape 4.9

Évaluez sur $x = \frac{23 π}{3}$ .

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Étape 4.9.1

Remplacez $x$ par $\frac{23 π}{3}$ .

$(\frac{23 π}{3}) - 2 \sin (\frac{23 π}{3})$

Étape 4.9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.9.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{23 π}{3} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 4.9.2.2

$\frac{23 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.9.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{23 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.9.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.9.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{23 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.9.2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{23 π}{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.9.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{23 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.9.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{23 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

Étape 4.9.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{23 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

Étape 4.9.2.6

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{23 π}{3} + \sqrt{3}$

Étape 4.10

Évaluez sur $x = \frac{29 π}{3}$ .

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Étape 4.10.1

Remplacez $x$ par $\frac{29 π}{3}$ .

$(\frac{29 π}{3}) - 2 \sin (\frac{29 π}{3})$

Étape 4.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.10.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{29 π}{3} - 2 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 4.10.2.2

$\frac{29 π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.10.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{29 π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.10.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.10.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{29 π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.10.2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{29 π}{3} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.10.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{29 π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.10.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{29 π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

Étape 4.10.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{29 π}{3} + 1 \sqrt{3}$

Étape 4.10.2.6

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{29 π}{3} + \sqrt{3}$

Étape 4.11

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{3}, \frac{π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{7 π}{3}, \frac{7 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{13 π}{3}, \frac{13 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{19 π}{3}, \frac{19 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{25 π}{3}, \frac{25 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{5 π}{3}, \frac{5 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{11 π}{3}, \frac{11 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{17 π}{3}, \frac{17 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{23 π}{3}, \frac{23 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{29 π}{3}, \frac{29 π}{3} + \sqrt{3})$

Étape 5