Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 4 x - 4$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 4 x - 4$ .

$3 x^{2} - 4 x - 4$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Étape 2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ et dont la somme est $b = - 4$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 x$ .

$3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $- 4$ comme $2$ plus $- 6$

$3 x^{2} + (2 - 6) x - 4 = 0$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 2 x - 6 x - 4 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} + 2 x) - 6 x - 4 = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x + 2) - 2 (3 x + 2) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $3 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - \frac{2}{3}, 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{2}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{2}{3}$ .

${(- \frac{2}{3})}^{3} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{2^{3}}{3^{3}} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{2^{3}}{3^{3}} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{8}{3^{3}} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{8}{27} - 2 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{8}{27} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{8}{27} - 2 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.6

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{8}{27} - 2 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.7

Multipliez $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{8}{27} - 2 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{8}{27} - 2 \frac{4}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{8}{27} - 2 (\frac{4}{9}) - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.10

Multipliez $- 2 (\frac{4}{9})$ .

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Étape 4.1.2.1.10.1

Associez $- 2$ et $\frac{4}{9}$ .

$- \frac{8}{27} + \frac{- 2 \cdot 4}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.10.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- \frac{8}{27} + \frac{- 8}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{27} - \frac{8}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.12

Multipliez $- 4 (- \frac{2}{3})$ .

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Étape 4.1.2.1.12.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + 4 (\frac{2}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.12.2

Associez $4$ et $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{4 \cdot 2}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.12.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{8}{3} + 1$

Étape 4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $\frac{8}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{27} - (\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{8}{3} + 1$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{8}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8}{3} + 1$

Étape 4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{9} + 1$

Étape 4.1.2.2.4

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 1$

Étape 4.1.2.2.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1}$

Étape 4.1.2.2.6

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 4.1.2.2.7

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Étape 4.1.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Étape 4.1.2.2.9

Multipliez $3$ par $9$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{27} + \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Étape 4.1.2.2.10

Multipliez $3$ par $9$ .

$- \frac{8}{27} - \frac{8 \cdot 3}{27} + \frac{8 \cdot 9}{27} + \frac{27}{27}$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 8 - 8 \cdot 3 + 8 \cdot 9 + 27}{27}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$\frac{- 8 - 24 + 8 \cdot 9 + 27}{27}$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $8$ par $9$ .

$\frac{- 8 - 24 + 72 + 27}{27}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.5.1

Soustrayez $24$ de $- 8$ .

$\frac{- 32 + 72 + 27}{27}$

Étape 4.1.2.5.2

Additionnez $- 32$ et $72$ .

$\frac{40 + 27}{27}$

Étape 4.1.2.5.3

Additionnez $40$ et $27$ .

$\frac{67}{27}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

${(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 1$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 - 2 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 1$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$8 - 8 - 4 \cdot 2 + 1$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$8 - 8 - 8 + 1$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $8$ de $8$ .

$0 - 8 + 1$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $8$ de $0$ .

$- 8 + 1$

Étape 4.2.2.2.3

Additionnez $- 8$ et $1$ .

$- 7$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- \frac{2}{3}, \frac{67}{27}), (2, - 7)$

Étape 5