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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 1.1.1
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 1.1.1.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.1.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.1.2
Différenciez.
Étape 1.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.1.2.3
Simplifiez l’expression.
Étape 1.1.2.3.1
Multipliez par .
Étape 1.1.2.3.2
Déplacez à gauche de .
Étape 1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 2
Étape 2.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 2.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 2.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 2.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 2.2.3.1
Divisez par .
Étape 2.3
Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du cosinus.
Étape 2.4
Simplifiez le côté droit.
Étape 2.4.1
La valeur exacte de est .
Étape 2.5
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 2.5.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 2.5.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 2.5.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 2.5.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.5.2.1.2
Divisez par .
Étape 2.5.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 2.5.3.1
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 2.5.3.2
Multipliez .
Étape 2.5.3.2.1
Multipliez par .
Étape 2.5.3.2.2
Multipliez par .
Étape 2.6
La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.
Étape 2.7
Résolvez .
Étape 2.7.1
Simplifiez
Étape 2.7.1.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.7.1.2
Associez et .
Étape 2.7.1.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.7.1.4
Multipliez par .
Étape 2.7.1.5
Soustrayez de .
Étape 2.7.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 2.7.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 2.7.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 2.7.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 2.7.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.7.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 2.7.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 2.7.2.3.1
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 2.7.2.3.2
Multipliez .
Étape 2.7.2.3.2.1
Multipliez par .
Étape 2.7.2.3.2.2
Multipliez par .
Étape 2.8
Déterminez la période de .
Étape 2.8.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 2.8.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 2.8.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 2.8.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 2.8.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.8.4.2
Divisez par .
Étape 2.9
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
Étape 2.10
Consolidez les réponses.
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 3
Étape 3.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 4
Étape 4.1
Évaluez sur .
Étape 4.1.1
Remplacez par .
Étape 4.1.2
Simplifiez
Étape 4.1.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 4.1.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.2.1.2
Annulez le facteur commun.
Étape 4.1.2.1.3
Réécrivez l’expression.
Étape 4.1.2.2
La valeur exacte de est .
Étape 4.2
Évaluez sur .
Étape 4.2.1
Remplacez par .
Étape 4.2.2
Simplifiez
Étape 4.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 4.2.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.2.2.1.2
Annulez le facteur commun.
Étape 4.2.2.1.3
Réécrivez l’expression.
Étape 4.2.2.2
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.
Étape 4.2.2.3
La valeur exacte de est .
Étape 4.2.2.4
Multipliez par .
Étape 4.3
Indiquez tous les points.
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 5