Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 4) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.6.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.6.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.6.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.6.3.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x + 0}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.2.2

Additionnez $- 8 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.5

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.6.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.6.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Étape 1.1.6.5.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 x = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $8 x = 0$ par $8$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $8 x = 0$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{8}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $8$ .

$x = 0$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0$ .

$0$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 4.2.2

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 4.2.2.2

Résolvez ${(x + 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 4.2.3

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 4.2.3.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.2.3.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 2, 2$

Étape 4.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = - \frac{8 (- 3)}{{((- 3) + 2)}^{2} {((- 3) - 2)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Multipliez $8$ par $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 3 + 2)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 3$ et $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 1)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 1)}^{2} {(- 5)}^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{1 {(- 5)}^{2}}$

Étape 6.2.2.4

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{1 \cdot 25}$

Étape 6.2.2.5

Multipliez $25$ par $1$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{25}$

Étape 6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 3) = \frac{24}{25}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{24}{25}$ .

$\frac{24}{25}$

Étape 6.3

Sur $x = - 3$ la dérivée est $\frac{24}{25}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = - \frac{8 (- 1)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1 {(- 3)}^{2}}$

Étape 7.2.2.4

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1 \cdot 9}$

Étape 7.2.2.5

Multipliez $9$ par $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{9}$

Étape 7.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 1) = \frac{8}{9}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Étape 7.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $\frac{8}{9}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 2, 0)$ .

Augmente sur $(- 2, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - \frac{8 (1)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (1) = - \frac{8}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Étape 8.2.2.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (1) = - \frac{8}{9 {(- 1)}^{2}}$

Étape 8.2.2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (1) = - \frac{8}{9 \cdot 1}$

Étape 8.2.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{9}$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Étape 8.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $- \frac{8}{9}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 2)$ .

Diminue sur $(0, 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = - \frac{8 (3)}{{((3) + 2)}^{2} {((3) - 2)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$f' (3) = - \frac{24}{{(3 + 2)}^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Additionnez $3$ et $2$ .

$f' (3) = - \frac{24}{5^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

Étape 9.2.2.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f' (3) = - \frac{24}{5^{2} \cdot 1^{2}}$

Étape 9.2.2.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (3) = - \frac{24}{25 \cdot 1^{2}}$

Étape 9.2.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (3) = - \frac{24}{25 \cdot 1}$

Étape 9.2.3

Multipliez $25$ par $1$ .

$f' (3) = - \frac{24}{25}$

Étape 9.2.4

La réponse finale est $- \frac{24}{25}$ .

$- \frac{24}{25}$

Étape 9.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $- \frac{24}{25}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(2, \infty)$ .

Diminue sur $(2, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

Diminue sur : $(0, 2), (2, \infty)$

Étape 11