Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.1.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Étape 1.1.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.3.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Étape 1.1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{2}{x^{3}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2}{x^{3}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{2}{x^{3}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 2.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ augmente et diminue est $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{- 1}$

Étape 6.2.2

Divisez $2$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = 2$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $2$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - \frac{2}{1}$

Étape 7.2.2

Divisez $2$ par $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Étape 7.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (1) = - 2$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 7.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $- 2$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, \infty)$ .

Diminue sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 0)$

Diminue sur : $(0, \infty)$

Étape 9