Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} - \frac{1}{2} (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) x$

Étape 1.1.3.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} + \frac{- 2}{2} x$

Étape 1.1.3.5

Associez $\frac{- 2}{2}$ et $x$ .

$x^{2} + \frac{- 2 x}{2}$

Étape 1.1.3.6

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2}$

Étape 1.1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Étape 1.1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + \frac{- x}{1}$

Étape 1.1.3.6.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} - x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} - x$ .

$x^{2} - x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} - x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} - x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, 1$ .

$0, 1$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{2} - (- 1)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 1)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 + 1$

Étape 5.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (- 1) = 2$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 5.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $2$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2})$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

Étape 6.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2}{4}$

Étape 6.2.5

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Étape 6.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

Étape 6.2.7

La réponse finale est $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Étape 6.3

Sur $x = \frac{1}{2}$ la dérivée est $- \frac{1}{4}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 1)$ .

Diminue sur $(0, 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = {(2)}^{2} - (2)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = 4 - (2)$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (2) = 4 - 2$

Étape 7.2.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$f' (2) = 2$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 7.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $2$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 0), (1, \infty)$

Diminue sur : $(0, 1)$

Étape 9