Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 32 x + 4$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 32 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 32 x$ par rapport à $x$ est $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $- 32$ par $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 32$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 32$ .

$4 x^{3} - 32$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 32 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 32 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $32$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} = 32$

Étape 2.3

Soustrayez $32$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} - 32 = 0$

Étape 2.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} - 32$ .

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Étape 2.4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 32 = 0$

Étape 2.4.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 32$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot - 8 = 0$

Étape 2.4.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} + 4 \cdot - 8$ .

$4 (x^{3} - 8) = 0$

Étape 2.4.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$4 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Étape 2.4.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 2.4.4

Factorisez.

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Étape 2.4.4.1

Simplifiez

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Étape 2.4.4.1.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Étape 2.4.4.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Étape 2.4.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Étape 2.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Étape 2.6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.7

Définissez $x^{2} + 2 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.7.1

Définissez $x^{2} + 2 x + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Étape 2.7.2

Résolvez $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.3

Simplifiez

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Étape 2.7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 2.7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.3.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.3.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.3.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.7.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.7.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 2.7.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.7.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.2.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 2.7.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.4.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.4.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.4.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.7.2.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.7.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 2.7.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Étape 2.7.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.7.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.2.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 2.7.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.5.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.5.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.5.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.7.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.7.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 2.7.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 2.7.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $2$ .

$2$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = 4 x^{3} - 32$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = x^{4} - 32 x + 4$ augmente et diminue est $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 32$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 32$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (1) = 4 - 32$

Étape 5.2.2

Soustrayez $32$ de $4$ .

$f' (1) = - 28$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 28$ .

$- 28$

Étape 5.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $- 28$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 2)$ .

Diminue sur $(- \infty, 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 32$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 32$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $4$ par $27$ .

$f' (3) = 108 - 32$

Étape 6.2.2

Soustrayez $32$ de $108$ .

$f' (3) = 76$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $76$ .

$76$

Étape 6.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $76$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(2, \infty)$ .

Augmente sur $(2, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(2, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 2)$

Étape 8