Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 (2 x)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 12 x$ .

$4 x^{3} - 12 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 12 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 12 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 12 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 12 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 12 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 3)$ .

$4 x (x^{2} - 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x^{2} - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \sqrt{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.7320508$ dans l’expression.

$f' (- 2.7320508) = 4 {(- 2.7320508)}^{3} - 12 \cdot - 2.7320508$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2.7320508$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2.7320508) = 4 \cdot - 20.39230467 - 12 \cdot - 2.7320508$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 20.39230467$ .

$f' (- 2.7320508) = - 81.5692187 - 12 \cdot - 2.7320508$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $- 2.7320508$ .

$f' (- 2.7320508) = - 81.5692187 + 32.7846096$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 81.5692187$ et $32.7846096$ .

$f' (- 2.7320508) = - 48.7846091$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 48.7846091$ .

$- 48.7846091$

Étape 5.3

Sur $x = - 2.7320508$ la dérivée est $- 48.7846091$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

Diminue sur $(- \infty, - \sqrt{3})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1.7320508, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.8660254$ dans l’expression.

$f' (- 0.8660254) = 4 {(- 0.8660254)}^{3} - 12 \cdot - 0.8660254$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.8660254$ à la puissance $3$ .

$f' (- 0.8660254) = 4 \cdot - 0.64951904 - 12 \cdot - 0.8660254$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 0.64951904$ .

$f' (- 0.8660254) = - 2.59807617 - 12 \cdot - 0.8660254$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $- 0.8660254$ .

$f' (- 0.8660254) = - 2.59807617 + 10.3923048$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 2.59807617$ et $10.3923048$ .

$f' (- 0.8660254) = 7.79422862$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $7.79422862$ .

$7.79422862$

Étape 6.3

Sur $x = - 0.8660254$ la dérivée est $7.79422862$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 1.7320508, 0)$ .

Augmente sur $(- \sqrt{3}, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \sqrt{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.8660254$ dans l’expression.

$f' (0.8660254) = 4 {(0.8660254)}^{3} - 12 \cdot 0.8660254$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.8660254$ à la puissance $3$ .

$f' (0.8660254) = 4 \cdot 0.64951904 - 12 \cdot 0.8660254$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $4$ par $0.64951904$ .

$f' (0.8660254) = 2.59807617 - 12 \cdot 0.8660254$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $0.8660254$ .

$f' (0.8660254) = 2.59807617 - 10.3923048$

Étape 7.2.2

Soustrayez $10.3923048$ de $2.59807617$ .

$f' (0.8660254) = - 7.79422862$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 7.79422862$ .

$- 7.79422862$

Étape 7.3

Sur $x = 0.8660254$ la dérivée est $- 7.79422862$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, \sqrt{3})$ .

Diminue sur $(0, \sqrt{3})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\sqrt{3}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2.7320508$ dans l’expression.

$f' (2.7320508) = 4 {(2.7320508)}^{3} - 12 \cdot 2.7320508$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $2.7320508$ à la puissance $3$ .

$f' (2.7320508) = 4 \cdot 20.39230467 - 12 \cdot 2.7320508$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $4$ par $20.39230467$ .

$f' (2.7320508) = 81.5692187 - 12 \cdot 2.7320508$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $2.7320508$ .

$f' (2.7320508) = 81.5692187 - 32.7846096$

Étape 8.2.2

Soustrayez $32.7846096$ de $81.5692187$ .

$f' (2.7320508) = 48.7846091$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $48.7846091$ .

$48.7846091$

Étape 8.3

Sur $x = 2.7320508$ la dérivée est $48.7846091$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Augmente sur $(\sqrt{3}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \sqrt{3}, 0), (\sqrt{3}, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - \sqrt{3}), (0, \sqrt{3})$

Étape 10