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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 1.1.1
Différenciez.
Étape 1.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.1.2
Évaluez .
Étape 1.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.1.2.3
Multipliez par .
Étape 1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 2
Étape 2.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 2.2
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Étape 2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.2
Réécrivez comme .
Étape 2.2.3
Factorisez.
Étape 2.2.3.1
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, où et .
Étape 2.2.3.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 2.3
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 2.4
Définissez égal à .
Étape 2.5
Définissez égal à et résolvez .
Étape 2.5.1
Définissez égal à .
Étape 2.5.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 2.6
Définissez égal à et résolvez .
Étape 2.6.1
Définissez égal à .
Étape 2.6.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 2.7
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 3
Les valeurs qui rendent la dérivée égale à sont .
Étape 4
Divisez en intervalles distincts autour des valeurs qui rendent la dérivée ou indéfinie.
Étape 5
Étape 5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 5.2
Simplifiez le résultat.
Étape 5.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.2.2
Additionnez et .
Étape 5.2.3
La réponse finale est .
Étape 5.3
Sur la dérivée est . Comme elle est négative, la fonction diminue sur .
Diminue sur depuis
Diminue sur depuis
Étape 6
Étape 6.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 6.2
Simplifiez le résultat.
Étape 6.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 6.2.1.1
Utilisez la règle de puissance pour distribuer l’exposant.
Étape 6.2.1.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 6.2.1.1.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 6.2.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.1.4
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.1.5
Annulez le facteur commun de .
Étape 6.2.1.5.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 6.2.1.5.2
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.1.5.3
Annulez le facteur commun.
Étape 6.2.1.5.4
Réécrivez l’expression.
Étape 6.2.1.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 6.2.1.7
Annulez le facteur commun de .
Étape 6.2.1.7.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 6.2.1.7.2
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.1.7.3
Annulez le facteur commun.
Étape 6.2.1.7.4
Réécrivez l’expression.
Étape 6.2.1.8
Multipliez par .
Étape 6.2.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 6.2.3
Associez et .
Étape 6.2.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 6.2.5
Simplifiez le numérateur.
Étape 6.2.5.1
Multipliez par .
Étape 6.2.5.2
Additionnez et .
Étape 6.2.6
La réponse finale est .
Étape 6.3
Sur la dérivée est . Comme elle est positive, la fonction augmente sur .
Augmente sur depuis
Augmente sur depuis
Étape 7
Étape 7.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 7.2
Simplifiez le résultat.
Étape 7.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 7.2.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 7.2.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 7.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 7.2.1.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 7.2.1.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 7.2.1.4.2
Annulez le facteur commun.
Étape 7.2.1.4.3
Réécrivez l’expression.
Étape 7.2.1.5
Annulez le facteur commun de .
Étape 7.2.1.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 7.2.1.5.2
Annulez le facteur commun.
Étape 7.2.1.5.3
Réécrivez l’expression.
Étape 7.2.1.6
Multipliez par .
Étape 7.2.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 7.2.3
Associez et .
Étape 7.2.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 7.2.5
Simplifiez le numérateur.
Étape 7.2.5.1
Multipliez par .
Étape 7.2.5.2
Soustrayez de .
Étape 7.2.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 7.2.7
La réponse finale est .
Étape 7.3
Sur la dérivée est . Comme elle est négative, la fonction diminue sur .
Diminue sur depuis
Diminue sur depuis
Étape 8
Étape 8.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 8.2
Simplifiez le résultat.
Étape 8.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 8.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 8.2.1.2
Multipliez par .
Étape 8.2.1.3
Multipliez par .
Étape 8.2.2
Soustrayez de .
Étape 8.2.3
La réponse finale est .
Étape 8.3
Sur la dérivée est . Comme elle est positive, la fonction augmente sur .
Augmente sur depuis
Augmente sur depuis
Étape 9
Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.
Augmente sur :
Diminue sur :
Étape 10