Calcul infinitésimal Exemples

Trouver où il y a croissance et décroissance à l'aide des Dérivées f(x)=x^4-50x^2
Étape 1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
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Étape 1.1.1
Différenciez.
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Étape 1.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.2
Évaluez .
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Étape 1.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.2.3
Multipliez par .
Étape 1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 2
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
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Étape 2.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 2.2
Factorisez le côté gauche de l’équation.
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Étape 2.2.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.2
Réécrivez comme .
Étape 2.2.3
Factorisez.
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Étape 2.2.3.1
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, et .
Étape 2.2.3.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 2.3
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 2.4
Définissez égal à .
Étape 2.5
Définissez égal à et résolvez .
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Étape 2.5.1
Définissez égal à .
Étape 2.5.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 2.6
Définissez égal à et résolvez .
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Étape 2.6.1
Définissez égal à .
Étape 2.6.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 2.7
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 3
Les valeurs qui rendent la dérivée égale à sont .
Étape 4
Divisez en intervalles distincts autour des valeurs qui rendent la dérivée ou indéfinie.
Étape 5
Remplacez une valeur de l’intervalle dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.
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Étape 5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 5.2
Simplifiez le résultat.
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Étape 5.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.2.2
Additionnez et .
Étape 5.2.3
La réponse finale est .
Étape 5.3
Sur la dérivée est . Comme elle est négative, la fonction diminue sur .
Diminue sur depuis
Diminue sur depuis
Étape 6
Remplacez une valeur de l’intervalle dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 6.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1.1
Utilisez la règle de puissance pour distribuer l’exposant.
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Étape 6.2.1.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 6.2.1.1.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 6.2.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.1.4
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.1.5
Annulez le facteur commun de .
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Étape 6.2.1.5.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 6.2.1.5.2
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.1.5.3
Annulez le facteur commun.
Étape 6.2.1.5.4
Réécrivez l’expression.
Étape 6.2.1.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 6.2.1.7
Annulez le facteur commun de .
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Étape 6.2.1.7.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 6.2.1.7.2
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.1.7.3
Annulez le facteur commun.
Étape 6.2.1.7.4
Réécrivez l’expression.
Étape 6.2.1.8
Multipliez par .
Étape 6.2.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 6.2.3
Associez et .
Étape 6.2.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 6.2.5
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.5.1
Multipliez par .
Étape 6.2.5.2
Additionnez et .
Étape 6.2.6
La réponse finale est .
Étape 6.3
Sur la dérivée est . Comme elle est positive, la fonction augmente sur .
Augmente sur depuis
Augmente sur depuis
Étape 7
Remplacez une valeur de l’intervalle dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 7.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.2.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 7.2.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 7.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 7.2.1.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.2.1.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 7.2.1.4.2
Annulez le facteur commun.
Étape 7.2.1.4.3
Réécrivez l’expression.
Étape 7.2.1.5
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.2.1.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 7.2.1.5.2
Annulez le facteur commun.
Étape 7.2.1.5.3
Réécrivez l’expression.
Étape 7.2.1.6
Multipliez par .
Étape 7.2.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 7.2.3
Associez et .
Étape 7.2.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 7.2.5
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.2.5.1
Multipliez par .
Étape 7.2.5.2
Soustrayez de .
Étape 7.2.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 7.2.7
La réponse finale est .
Étape 7.3
Sur la dérivée est . Comme elle est négative, la fonction diminue sur .
Diminue sur depuis
Diminue sur depuis
Étape 8
Remplacez une valeur de l’intervalle dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 8.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 8.2.1.2
Multipliez par .
Étape 8.2.1.3
Multipliez par .
Étape 8.2.2
Soustrayez de .
Étape 8.2.3
La réponse finale est .
Étape 8.3
Sur la dérivée est . Comme elle est positive, la fonction augmente sur .
Augmente sur depuis
Augmente sur depuis
Étape 9
Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.
Augmente sur :
Diminue sur :
Étape 10