Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2}$ , $a = 1$

Étape 1

Étudiez la fonction utilisée pour déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Étape 2

Remplacez la valeur de $a = 1$ dans la fonction de linéarisation.

$L (x) = f (1) + f' (1) (x - 1)$

Étape 3

Évaluez $f (1)$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{4} + 2 {(1)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez ${(1)}^{4} + 2 {(1)}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

${(1)}^{4} + 2 {(1)}^{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 2 {(1)}^{2}$

Étape 3.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 2 \cdot 1$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 + 2$

Étape 3.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$3$

Étape 4

Déterminez la dérivée et évaluez-la sur $1$ .

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée de $f (x) = x^{4} + 2 x^{2}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{3} + 4 x$

Étape 4.2

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$4 {(1)}^{3} + 4 (1)$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \cdot 1 + 4 (1)$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + 4 (1)$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + 4$

Étape 4.3.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$8$

Étape 5

Remplacez les composants dans la fonction de linéarisation afin de déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = 3 + 8 (x - 1)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$L (x) = 3 + 8 x + 8 \cdot - 1$

Étape 6.1.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$L (x) = 3 + 8 x - 8$

Étape 6.2

Soustrayez $8$ de $3$ .

$L (x) = 8 x - 5$

Étape 7