Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\sqrt{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\sqrt{3} x$ par rapport à $x$ est $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2.3

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sqrt{3} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\sqrt{3} + 2 (- \sin (x))$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sqrt{3} - 2 \sin (x)$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 \sin (x) + \sqrt{3}$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 \sin (x) + \sqrt{3} = 0$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $\sqrt{3}$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 3.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 3.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{3}$

Étape 3.6

Simplifiez $π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 3.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 3.6.2

Associez les fractions.

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Étape 3.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 3.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 3.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 3.6.3.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 3.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ sur $x = \frac{π}{3}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{3}) = \sqrt{3} (\frac{π}{3}) + 2 \cos (\frac{π}{3})$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 \cos (\frac{π}{3})$

Étape 4.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

Étape 4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

Étape 4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$

Étape 4.2.2

La réponse finale est $\frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$ .

$\frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ sur $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = \sqrt{3} (\frac{2 π}{3}) + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{\sqrt{3} (2 π)}{3} + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 5.2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} π)}{3} + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 5.2.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Étape 5.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (- \frac{1}{2})$

Étape 5.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{- 1}{2})$

Étape 5.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{- 1}{2})$

Étape 5.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

Étape 5.2.2

La réponse finale est $\frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

Étape 6

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ sont $y = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1, y = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$ .

$y = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1, y = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

Étape 7