Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} + 3 x$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = x^{2} + 3 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 3 \cdot 1$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 x + 3$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x + 3 = 0$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{2} + 3 x$ sur $x = - \frac{3}{2}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2})$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2})$

Étape 4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2})$

Étape 4.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2})$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{3^{2}}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2})$

Étape 4.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2})$

Étape 4.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + 3 (- \frac{3}{2})$

Étape 4.2.1.6

Multipliez $3 (- \frac{3}{2})$ .

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Étape 4.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2})$

Étape 4.2.1.6.2

Associez $- 3$ et $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2}$

Étape 4.2.1.6.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2}$

Étape 4.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2}$

Étape 4.2.2

Pour écrire $- \frac{9}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Étape 4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2}{4}$

Étape 4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18}{4}$

Étape 4.2.5.2

Soustrayez $18$ de $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9}{4}$

Étape 4.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{4}$

Étape 4.2.7

La réponse finale est $- \frac{9}{4}$ .

$- \frac{9}{4}$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = x^{2} + 3 x$ est $y = - \frac{9}{4}$ .

$y = - \frac{9}{4}$

Étape 6