Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 3 x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 6 x$ et $0$ .

$4 x^{3} - 6 x$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 6 x = 0$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x^{3} - 6 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) - 6 x = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 6 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3) = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$2 x (2 x^{2} - 3) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 3 = 0$

Étape 3.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.4

Définissez $2 x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $2 x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - 3 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $2 x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = 3$

Étape 3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 3.4.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{2}$

Étape 3.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Étape 3.4.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 3.4.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.4.2.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.4.2.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.2.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.2.4.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.2.4.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.4.2.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.2.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.4.2.4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.4.2.4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.2.4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.2.4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.2.4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.2.4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.4.2.4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.4.2.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.2.4.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Étape 3.4.2.4.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 3.4.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 3.4.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 3.4.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (2 x^{2} - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ sur $x = 0$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{2} + 2$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} + 2$

Étape 4.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 2$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (0) = 2$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ sur $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{6}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{4}$ comme $6^{2}$ .

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Étape 5.2.1.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Étape 5.2.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Étape 5.2.1.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Étape 5.2.1.2.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 5.2.1.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Étape 5.2.1.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Étape 5.2.1.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Étape 5.2.1.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Étape 5.2.1.2.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{2}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Étape 5.2.1.2.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Étape 5.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Étape 5.2.1.4

Annulez le facteur commun à $36$ et $16$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 (9)}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Étape 5.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Étape 5.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Étape 5.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 2$

Étape 5.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + 2$

Étape 5.2.1.6

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 5.2.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2$

Étape 5.2.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2$

Étape 5.2.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2$

Étape 5.2.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2$

Étape 5.2.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} + 2$

Étape 5.2.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} + 2$

Étape 5.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{6}{4}) + 2$

Étape 5.2.1.8

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 5.2.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 (3)}{4} + 2$

Étape 5.2.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + 2$

Étape 5.2.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + 2$

Étape 5.2.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) + 2$

Étape 5.2.1.9

Multipliez $- 3 (\frac{3}{2})$ .

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Étape 5.2.1.9.1

Associez $- 3$ et $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + 2$

Étape 5.2.1.9.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} + 2$

Étape 5.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2$

Étape 5.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 2$

Étape 5.2.2.3

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1}$

Étape 5.2.2.4

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 5.2.2.5

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Étape 5.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 2 \cdot 4}{4}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18 + 2 \cdot 4}{4}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18 + 8}{4}$

Étape 5.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.5.1

Soustrayez $18$ de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 9 + 8}{4}$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $- 9$ et $8$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Étape 5.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = - \frac{1}{4}$

Étape 5.2.6

La réponse finale est $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Étape 6

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ sont $y = 2, y = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4}$ .

$y = 2, y = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4}$

Étape 7