Calcul infinitésimal Exemples

$y = x + \sin (x)$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = x + \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $1 + \cos (x) = 0$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = - 1$

Étape 3.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 3.4

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 3.5

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 3.6

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 3.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.7

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x + \sin (x)$ sur $x = π$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $π$ dans l’expression.

$f (π) = (π) + \sin (π)$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (π) = π + \sin (0)$

Étape 4.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (π) = π + 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$f (π) = π$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $π$ .

$π$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x + \sin (x)$ sur $x = π + 2 π$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $π + 2 π$ dans l’expression.

$f (π + 2 π) = (π + 2 π) + \sin (π + 2 π)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (3 π)$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (π)$

Étape 5.2.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (π + 2 π) = π + 2 π + \sin (0)$

Étape 5.2.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (π + 2 π) = π + 2 π + 0$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$f (π + 2 π) = 3 π + 0$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $3 π$ et $0$ .

$f (π + 2 π) = 3 π$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $3 π$ .

$3 π$

Étape 6

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = x + \sin (x)$ est $y = π, y = 3 π$ .

$y = π, y = 3 π$

Étape 7