Calcul infinitésimal Exemples

$y = x \sqrt{x}$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = x \sqrt{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Étape 2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Étape 2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Étape 2.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Étape 2.7.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.8

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 3.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ par $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 3.2.1.2.2

Divisez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{3}$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 3.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{2}$

Étape 3.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 0^{2}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x \sqrt{x}$ sur $x = 0$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

Étape 4.2.2

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (0) = 0 \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (0) = 0 \cdot 0$

Étape 4.2.4

Multipliez $0$ par $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 4.2.5

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = x \sqrt{x}$ est $y = 0$ .

$y = 0$

Étape 6