Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 4 (2 x)$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$3 x^{2} - 8 x$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 8 x = 0$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} - 8 x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$x (3 x) - 8 x = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 8 x$ .

$x (3 x) + x \cdot - 8 = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x) + x \cdot - 8$ .

$x (3 x - 8) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$3 x - 8 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez $3 x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $3 x - 8$ égal à $0$ .

$3 x - 8 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $3 x - 8 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 8$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 8$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 8$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{8}{3}$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (3 x - 8) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{8}{3}$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ sur $x = 0$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 3.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ sur $x = \frac{8}{3}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{8}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Étape 4.2.1.2

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Étape 4.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

Étape 4.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{8^{2}}{3^{2}}$

Étape 4.2.1.5

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{64}{3^{2}}$

Étape 4.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 (\frac{64}{9})$

Étape 4.2.1.7

Multipliez $- 4 (\frac{64}{9})$ .

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Étape 4.2.1.7.1

Associez $- 4$ et $\frac{64}{9}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 4 \cdot 64}{9}$

Étape 4.2.1.7.2

Multipliez $- 4$ par $64$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 256}{9}$

Étape 4.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9}$

Étape 4.2.2

Pour écrire $- \frac{256}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $27$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $\frac{256}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{27}$

Étape 4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 256 \cdot 3}{27}$

Étape 4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $- 256$ par $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 768}{27}$

Étape 4.2.5.2

Soustrayez $768$ de $512$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 256}{27}$

Étape 4.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{8}{3}) = - \frac{256}{27}$

Étape 4.2.7

La réponse finale est $- \frac{256}{27}$ .

$- \frac{256}{27}$

Étape 5

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ sont $y = 0, y = - \frac{256}{27}$ .

$y = 0, y = - \frac{256}{27}$

Étape 6