Calcul infinitésimal Exemples

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$

Étape 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Étape 1.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = 4 x^{2} - 8 x + 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ comme ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.3.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.3.5

Soustrayez $4$ de $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.3.6

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.3.7

Associez les exposants.

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Étape 1.3.1.3.7.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.3.7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.4.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.5

Additionnez $4$ et $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.6

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x + 8$ .

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Étape 1.3.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.7

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.8

Réécrivez $16 x (- x + 2)$ comme ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

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Étape 1.3.1.8.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Étape 1.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Étape 1.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ comme ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3

Simplifiez

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Étape 1.4.1.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3.5

Soustrayez $4$ de $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3.6

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3.7

Associez les exposants.

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Étape 1.4.1.3.7.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3.7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.4.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.5

Additionnez $4$ et $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.6

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x + 8$ .

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Étape 1.4.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.7

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.8

Réécrivez $16 x (- x + 2)$ comme ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

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Étape 1.4.1.8.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Étape 1.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Étape 1.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ comme ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3

Simplifiez

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Étape 1.5.1.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3.5

Soustrayez $4$ de $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3.6

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3.7

Associez les exposants.

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Étape 1.5.1.3.7.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3.7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.4.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.5

Additionnez $4$ et $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.6

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x + 8$ .

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Étape 1.5.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.7

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.8

Réécrivez $16 x (- x + 2)$ comme ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

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Étape 1.5.1.8.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

Étape 1.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Étape 1.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Étape 1.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Étape 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

Étape 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 3.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$8 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$8 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$8 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 3.2.4.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 2 y y' - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 x + 2 y y' - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.4.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.5.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + 0$

Étape 3.2.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.7.1

Additionnez $8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$ et $0$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$

Étape 3.2.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8$

Étape 3.3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8 = 0$

Étape 3.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 3.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.1.1

Soustrayez $8 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y y' + 4 y' - 8 = - 8 x$

Étape 3.5.1.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y y' + 4 y' = - 8 x + 8$

Étape 3.5.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y' + 4 y'$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y'$ .

$2 y' y + 4 y' = - 8 x + 8$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $4 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot 2 = - 8 x + 8$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' y + 2 y' \cdot 2$ .

$2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ par $2 (y + 2)$ et simplifiez.

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Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ par $2 (y + 2)$ .

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Étape 3.5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Étape 3.5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Étape 3.5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Étape 3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 3.5.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Étape 3.5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Étape 3.5.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 4 x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Étape 3.5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{(4) x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

Étape 3.5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 3.5.3.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

Étape 3.5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.3.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

Étape 3.5.3.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{4}{y + 2}$

Étape 3.5.3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.5.3.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 4 x + 4}{y + 2}$

Étape 3.5.3.3.2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x + 4$ .

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Étape 3.5.3.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$y' = \frac{4 (- x) + 4}{y + 2}$

Étape 3.5.3.3.2.2.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y' = \frac{4 (- x) + 4 (1)}{y + 2}$

Étape 3.5.3.3.2.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (1)$ .

$y' = \frac{4 (- x + 1)}{y + 2}$

Étape 3.5.3.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{4 (- (x) + 1)}{y + 2}$

Étape 3.5.3.3.2.4

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{4 (- (x) - 1 (- 1))}{y + 2}$

Étape 3.5.3.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{4 (- (x - 1))}{y + 2}$

Étape 3.5.3.3.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.3.3.2.6.1

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (x - 1))}{y + 2}$

Étape 3.5.3.3.2.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

Étape 3.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{4 (x - 1)}{y + 2} = 0$ .

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Étape 4.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 (x - 1) = 0$

Étape 4.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $4 (x - 1) = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1.1

Divisez chaque terme dans $4 (x - 1) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 4.2.1.2.1.2

Divisez $x - 1$ par $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{4}$

Étape 4.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x - 1 = 0$

Étape 4.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5

Solve the function $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- (1) + 2$ par $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- (1) + 2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- 1 + 2}$

Étape 5.2.1.3

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{1}$

Étape 5.2.1.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \cdot 1$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (1) = - 2 + 2$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (1) = 0$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6

Solve the function $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Multipliez $- (1) + 2$ par $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- (1) + 2}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- 1 + 2}$

Étape 6.2.1.3

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{1}$

Étape 6.2.1.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \cdot 1$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (1) = - 2 - 2$

Étape 6.2.2

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$f (1) = - 4$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 7

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = - 4$

$y = 0, y = - 4$

Étape 8