Calcul infinitésimal Exemples

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$

Étape 1

Set each solution of $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ as a function of $x$ .

$y = 25 (x^{2} - y^{2}) \to f (x) = 25 (x^{2} - y^{2})$

Étape 2

Because the $y$ variable in the equation $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 2.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (25 (x^{2} - y^{2}))$

Étape 2.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 2.2.3

Différenciez.

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 2.2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Étape 2.2.6

Simplifiez

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Étape 2.2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Étape 2.2.6.2

Réorganisez les facteurs de $(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$

Étape 2.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.1

Différenciez.

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Étape 2.3.1.1

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25 (x^{2} - y^{2})$ par rapport à $x$ est $25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Étape 2.3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$25 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Étape 2.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$25 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Étape 2.3.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$25 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$25 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$25 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$25 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$25 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$25 (2 x - 2 y y')$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$25 (2 x) + 25 (- 2 y y')$

Étape 2.3.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.5.2.1

Multipliez $2$ par $25$ .

$50 x + 25 (- 2 y y')$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez $- 2$ par $25$ .

$50 x - 50 y y'$

Étape 2.3.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 50 y y' + 50 x$

Étape 2.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Étape 2.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 2.5.1

Simplifiez $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ .

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Étape 2.5.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Étape 2.5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Étape 2.5.1.3

Développez $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Étape 2.5.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Étape 2.5.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Étape 2.5.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Étape 2.5.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1.4.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Étape 2.5.1.4.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.5.1.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Étape 2.5.1.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cdot 4 x^{2 + 1} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Étape 2.5.1.4.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Étape 2.5.1.4.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Étape 2.5.1.4.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x^{3} + 2 \cdot 4 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Étape 2.5.1.4.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Étape 2.5.1.4.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

Étape 2.5.1.4.7

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1.4.7.1

Déplacez $y^{2}$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Étape 2.5.1.4.7.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 2.5.1.4.7.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Étape 2.5.1.4.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Étape 2.5.1.4.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

Étape 2.5.1.4.8

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' = - 50 y y' + 50 x$

Étape 2.5.2

Ajoutez $50 y y'$ aux deux côtés de l’équation.

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x$

Étape 2.5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.5.3.1

Soustrayez $8 x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3}$

Étape 2.5.3.2

Soustrayez $8 x y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Étape 2.5.4

Factorisez $2 y y'$ à partir de $8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y'$ .

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Étape 2.5.4.1

Factorisez $2 y y'$ à partir de $8 y y' x^{2}$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Étape 2.5.4.2

Factorisez $2 y y'$ à partir de $8 y^{3} y'$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Étape 2.5.4.3

Factorisez $2 y y'$ à partir de $50 y y'$ .

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Étape 2.5.4.4

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2})$ .

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Étape 2.5.4.5

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25$ .

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

Étape 2.5.5

Divisez chaque terme dans $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ par $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ et simplifiez.

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Étape 2.5.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ par $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$\frac{2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 2.5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 2.5.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.2.3

Annulez le facteur commun de $4 x^{2} + 4 y^{2} + 25$ .

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Étape 2.5.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

Étape 2.5.5.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $50$ et $2$ .

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Étape 2.5.5.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $50 x$ .

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.5.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 2.5.5.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x^{3}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.5.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{(4) x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.1.4

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 2.5.5.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.5.3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Étape 2.5.5.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

Étape 2.5.5.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.1.5

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 2.5.5.3.1.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.5.3.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Étape 2.5.5.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

Étape 2.5.5.3.2

Pour écrire $- \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 2.5.5.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.5.5.3.3.1

Multipliez $\frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ par $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y}$

Étape 2.5.5.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.6

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.5.3.6.1

Déplacez $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x (y \cdot y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.6.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.7

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}$ .

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Étape 2.5.5.3.7.1

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.7.2

Factorisez $x$ à partir de $25 x$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.7.3

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.7.4

Factorisez $x$ à partir de $x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.7.5

Factorisez $x$ à partir de $x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.9

Réécrivez $25$ comme $- 1 (- 25)$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) - 1 (- 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{2}) - 1 (- 25)$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.5.3.13.1

Réécrivez $- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ comme $- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.5.5.3.13.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 2.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}) = 0$

Étape 3.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$

Étape 3.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.2.3

Définissez $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.3.1

Définissez $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}$ égal à $0$ .

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$

Étape 3.2.3.2

Résolvez $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.3.2.1.1

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} + 4 y^{2} = 25$

Étape 3.2.3.2.1.2

Soustrayez $4 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$

Étape 3.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

Étape 3.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

Étape 3.2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

Étape 3.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.2.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

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Étape 3.2.3.2.2.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y^{2}$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4}$

Étape 3.2.3.2.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.2.2.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4 (1)}$

Étape 3.2.3.2.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4 \cdot 1}$

Étape 3.2.3.2.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{1}$

Étape 3.2.3.2.2.3.1.2.4

Divisez $- y^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4} - y^{2}$

Étape 3.2.3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4} - y^{2}}$

Étape 3.2.3.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{25}{4} - y^{2}}$ .

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Étape 3.2.3.2.4.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5^{2}}{4} - y^{2}}$

Étape 3.2.3.2.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} - y^{2}}$

Étape 3.2.3.2.4.3

Réécrivez $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ comme ${(\frac{5}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} - y^{2}}$

Étape 3.2.3.2.4.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{5}{2}$ et $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + y) (\frac{5}{2} - y)}$

Étape 3.2.3.2.4.5

Pour écrire $y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + y \cdot \frac{2}{2}) (\frac{5}{2} - y)}$

Étape 3.2.3.2.4.6

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.3.2.4.6.1

Associez $y$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + \frac{y \cdot 2}{2}) (\frac{5}{2} - y)}$

Étape 3.2.3.2.4.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + y \cdot 2}{2} (\frac{5}{2} - y)}$

Étape 3.2.3.2.4.7

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} - y)}$

Étape 3.2.3.2.4.8

Pour écrire $- y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} - y \cdot \frac{2}{2})}$

Étape 3.2.3.2.4.9

Associez $- y$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} + \frac{- y \cdot 2}{2})}$

Étape 3.2.3.2.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} \cdot \frac{5 - y \cdot 2}{2}}$

Étape 3.2.3.2.4.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} \cdot \frac{5 - 2 y}{2}}$

Étape 3.2.3.2.4.12

Multipliez $\frac{5 + 2 y}{2}$ par $\frac{5 - 2 y}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2 \cdot 2}}$

Étape 3.2.3.2.4.13

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4}}$

Étape 3.2.3.2.4.14

Réécrivez $\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))$ .

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Étape 3.2.3.2.4.14.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{4}}$

Étape 3.2.3.2.4.14.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 3.2.3.2.4.14.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}$

Étape 3.2.3.2.4.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$

Étape 3.2.3.2.4.16

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Étape 3.2.3.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.3.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Étape 3.2.3.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Étape 3.2.3.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Étape 3.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}) = 0$ vraie.

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = 0$

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

Étape 4

Solve the function $f (x) = 25 (x^{2} - y^{2})$ at $x = 0$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 25 ({(0)}^{2} - y^{2})$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 25 (0 - y^{2})$

Étape 4.2.2

Soustrayez $y^{2}$ de $0$ .

$f (0) = 25 (- y^{2})$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f (0) = - 25 y^{2}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $- 25 y^{2}$ .

$- 25 y^{2}$

Étape 5

Solve the function $f (x) = 25 (x^{2} - y^{2})$ at $x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 ({(\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2})}^{2} - y^{2})$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}^{2}$ comme $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ .

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Étape 5.2.1.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$ comme ${((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{({((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{{((5 + 2 y) (5 - 2 y))}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2.1.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2.2

Développez $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 (5 - 2 y) + 2 y (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2.3

Associez les termes opposés dans $5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (- 2 y)$ .

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Étape 5.2.1.2.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $5 (- 2 y)$ et $2 y \cdot 5$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 - 2 \cdot (5 y) + 2 \cdot (5 y) + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2.3.2

Additionnez $- 2 \cdot 5 y$ et $2 \cdot 5 y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 0 + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2.3.3

Additionnez $5 \cdot 5$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.2.4.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 y (- 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 y \cdot y)}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2.4.3

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.2.4.3.1

Déplacez $y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 (y \cdot y))}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2.4.3.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 y^{2})}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2.4.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 - 4 y^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2.5

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5^{2} - 4 y^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2.6

Réécrivez $4 y^{2}$ comme ${(2 y)}^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5^{2} - {(2 y)}^{2}}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = 2 y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - (2 y))}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.2.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2^{2}} - y^{2})$

Étape 5.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4} - y^{2})$

Étape 5.2.2

Pour écrire $- y^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4} - y^{2} \cdot \frac{4}{4})$

Étape 5.2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.3.1

Associez $- y^{2}$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4} + \frac{- y^{2} \cdot 4}{4})$

Étape 5.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Étape 5.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.1

Développez $(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 (5 - 2 y) + 2 y (5 - 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Étape 5.2.4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y (5 - 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Étape 5.2.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Étape 5.2.4.2

Associez les termes opposés dans $5 \cdot 5 + 5 (- 2 y) + 2 y \cdot 5 + 2 y (- 2 y)$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $5 (- 2 y)$ et $2 y \cdot 5$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 - 2 \cdot (5 y) + 2 \cdot (5 y) + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Étape 5.2.4.2.2

Additionnez $- 2 \cdot 5 y$ et $2 \cdot 5 y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 0 + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Étape 5.2.4.2.3

Additionnez $5 \cdot 5$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{5 \cdot 5 + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Étape 5.2.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.3.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 y (- 2 y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Étape 5.2.4.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Étape 5.2.4.3.3

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.4.3.3.1

Déplacez $y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Étape 5.2.4.3.3.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 + 2 \cdot (- 2 y^{2}) - y^{2} \cdot 4}{4})$

Étape 5.2.4.3.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 - 4 y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4})$

Étape 5.2.4.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 - 4 y^{2} - 4 y^{2}}{4})$

Étape 5.2.4.5

Soustrayez $4 y^{2}$ de $- 4 y^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = 25 (\frac{25 - 8 y^{2}}{4})$

Étape 5.2.5

Associez $25$ et $\frac{25 - 8 y^{2}}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}) = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$

Étape 5.2.6

La réponse finale est $\frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$ .

$\frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$

Étape 6

The horizontal tangent lines are $y = - 25 y^{2}, y = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}, y = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$

$y = - 25 y^{2}, y = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}, y = \frac{25 (25 - 8 y^{2})}{4}$

Étape 7