Calcul infinitésimal Exemples

$y^{3} + x y - y = 8 x^{4}$

Étape 1

Set each solution of $y^{3} + x y - y$ as a function of $x$ .

$y = 8 x^{4} \to f (x) = 8 x^{4}$

Étape 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{3} + x y - y = 8 x^{4}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 2.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + x y - y) = \frac{d}{d x} (8 x^{4})$

Étape 2.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} + x y - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 2.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$3 y^{2} y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.2.3.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Étape 2.2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y - \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y^{2} y' + x y' + y - y'$

Étape 2.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{4}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$8 (4 x^{3})$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $8$ .

$32 x^{3}$

Étape 2.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 y^{2} y' + x y' + y - y' = 32 x^{3}$

Étape 2.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 2.5.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' + x y' - y' = 32 x^{3} - y$

Étape 2.5.2

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y' + x y' - y'$ .

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + x (y') - y' = 32 x^{3} - y$

Étape 2.5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (x) - y' = 32 x^{3} - y$

Étape 2.5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (x) + y' \cdot - 1 = 32 x^{3} - y$

Étape 2.5.2.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (3 y^{2} + x) + y' \cdot - 1 = 32 x^{3} - y$

Étape 2.5.2.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 y^{2} + x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$

Étape 2.5.3

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$ par $3 y^{2} + x - 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$ par $3 y^{2} + x - 1$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + x - 1)}{3 y^{2} + x - 1} = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

Étape 2.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3 y^{2} + x - 1$ .

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Étape 2.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 y^{2} + x - 1)}{3 y^{2} + x - 1} = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

Étape 2.5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

Étape 2.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1}$

Étape 2.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1}$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$32 x^{3} - y = 0$

Étape 3.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$32 x^{3} = y$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $32 x^{3} = y$ par $32$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $32 x^{3} = y$ par $32$ .

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{y}{32}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $32$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{y}{32}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{y}{32}$

Étape 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{y}{32}}$

Étape 3.2.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{y}{32}}$ .

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Étape 3.2.4.1

Réécrivez $\frac{y}{32}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{3} \frac{y}{4}$ .

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Étape 3.2.4.1.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{3}$ dans $y$ .

$x = \sqrt[3]{\frac{1^{3} y}{32}}$

Étape 3.2.4.1.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{3}$ dans $32$ .

$x = \sqrt[3]{\frac{1^{3} y}{2^{3} \cdot 4}}$

Étape 3.2.4.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{3} y}{2^{3} \cdot 4}$ .

$x = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} \frac{y}{4}}$

Étape 3.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{1}{2} \sqrt[3]{\frac{y}{4}}$

Étape 3.2.4.3

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{y}{4}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$

Étape 3.2.4.4

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Étape 3.2.4.5

Associez les fractions.

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Étape 3.2.4.5.1

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.4.5.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 3.2.4.5.1.2

Élevez $\sqrt[3]{4}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 3.2.4.5.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Étape 3.2.4.5.1.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Étape 3.2.4.5.1.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ comme $4$ .

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Étape 3.2.4.5.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4}$ comme $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.2.4.5.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.2.4.5.1.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.2.4.5.1.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.4.5.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.2.4.5.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Étape 3.2.4.5.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Étape 3.2.4.5.2

Associez.

$x = \frac{1 (\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2})}{2 \cdot 4}$

Étape 3.2.4.5.3

Multipliez.

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Étape 3.2.4.5.3.1

Multipliez $\sqrt[3]{y}$ par $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.2.4.5.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{8}$

Étape 3.2.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.4.6.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{4^{2}}}{8}$

Étape 3.2.4.6.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{16}}{8}$

Étape 3.2.4.6.3

Réécrivez $16$ comme $2^{3} \cdot 2$ .

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Étape 3.2.4.6.3.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{8 (2)}}{8}$

Étape 3.2.4.6.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{8}$

Étape 3.2.4.6.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{8}$

Étape 3.2.4.6.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{8}$

Étape 3.2.4.7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.2.4.7.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 3.2.4.7.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt[3]{y \cdot 2}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{y \cdot 2})}{8}$

Étape 3.2.4.7.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.4.7.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.2.4.7.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.2.4.7.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\sqrt[3]{y \cdot 2}}{4}$

Étape 3.2.4.7.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{y \cdot 2}}{4}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$

Étape 4

Solve the function $f (x) = 8 x^{4}$ at $x = \frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4})}^{4}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{2 y}}^{4}}{4^{4}})$

Étape 4.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2 y}}^{4}$ comme $\sqrt[3]{{(2 y)}^{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{4}}}{4^{4}})$

Étape 4.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 y$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{4} y^{4}}}{4^{4}})$

Étape 4.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{16 y^{4}}}{4^{4}})$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez $16 y^{4}$ comme ${(2 y)}^{3} \cdot (2 y)$ .

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Étape 4.2.2.4.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{8 (2) y^{4}}}{4^{4}})$

Étape 4.2.2.4.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 y^{4})}}{4^{4}})$

Étape 4.2.2.4.3

Factorisez $y^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 (y^{3} y))}}{4^{4}})$

Étape 4.2.2.4.4

Déplacez $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} y^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

Étape 4.2.2.4.5

Réécrivez $2^{3} y^{3}$ comme ${(2 y)}^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

Étape 4.2.2.4.6

Ajoutez des parenthèses.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

Étape 4.2.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{4^{4}})$

Étape 4.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{256})$

Étape 4.2.3.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $256$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{8 (32)})$

Étape 4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{8 \cdot 32})$

Étape 4.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{32}$

Étape 4.2.3.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $32$ .

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Étape 4.2.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y \sqrt[3]{2 y}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{32}$

Étape 4.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{2 \cdot 16}$

Étape 4.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{2 \cdot 16}$

Étape 4.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $\frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$ .

$\frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

Étape 5

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

$y = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

Étape 6