Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + y^{3} = 6 x y$

Étape 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 6 x y \to f (x) = 6 x y$

Étape 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 6 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 2.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (6 x y)$

Étape 2.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Étape 2.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x y$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$6 (x y' + y)$

Étape 2.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$6 x y' + 6 y$

Étape 2.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 6 x y' + 6 y$

Étape 2.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 2.5.1

Soustrayez $6 x y'$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y$

Étape 2.5.2

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

Étape 2.5.3

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y^{2} y' - 6 x y'$ .

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Étape 2.5.3.1

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

Étape 2.5.3.2

Factorisez $3 y'$ à partir de $- 6 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

Étape 2.5.3.3

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

Étape 2.5.4

Divisez chaque terme dans $3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ par $3 (y^{2} - 2 x)$ et simplifiez.

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Étape 2.5.4.1

Divisez chaque terme dans $3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ par $3 (y^{2} - 2 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 2.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 2.5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 2.5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2} - 2 x$ .

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Étape 2.5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 2.5.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 2.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 2.5.4.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 y$ .

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 2.5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.4.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 2.5.4.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 2.5.4.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 2.5.4.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 2.5.4.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.4.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Étape 2.5.4.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Étape 2.5.4.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Étape 2.5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Étape 2.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 y - x^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 2 y$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 2 y$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 2 y$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Étape 3.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 2 y}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot (- 2 y)$

Étape 3.2.2.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot (- 2 y)$ comme $- (- 2 y)$ .

$x^{2} = - (- 2 y)$

Étape 3.2.2.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$x^{2} = 2 y$

Étape 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2 y}$

Étape 3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2 y}$

Étape 3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2 y}$

Étape 3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

Étape 4

Solve the function $f (x) = 6 x y$ at $x = \sqrt{2 y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{2 y}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{2 y}) = 6 (\sqrt{2 y}) \cdot y$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Multipliez $6 \sqrt{2 y}$ par $y$ .

$f (\sqrt{2 y}) = 6 \sqrt{2 y} y$

Étape 4.2.2

La réponse finale est $6 \sqrt{2 y} y$ .

$6 \sqrt{2 y} y$

Étape 5

Solve the function $f (x) = 6 x y$ at $x = - \sqrt{2 y}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{2 y}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{2 y}) = 6 (- \sqrt{2 y}) \cdot y$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f (- \sqrt{2 y}) = - 6 \sqrt{2 y} y$

Étape 5.2.2

La réponse finale est $- 6 \sqrt{2 y} y$ .

$- 6 \sqrt{2 y} y$

Étape 6

The horizontal tangent lines are $y = 6 \sqrt{2 y} y, y = - 6 \sqrt{2 y} y$

$y = 6 \sqrt{2 y} y, y = - 6 \sqrt{2 y} y$

Étape 7