Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{- 2 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$x (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- 2 x}$ .

$x (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \cdot 1$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $e^{- 2 x}$ par $1$ .

$x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$

Étape 1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = - 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ .

$- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $- 2 x e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} = 0$

Étape 2.2.2

Multipliez par $1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $e^{- 2 x}$ à partir de $e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x + 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- 2 x} = 0$

$- 2 x + 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $e^{- 2 x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $e^{- 2 x}$ égal à $0$ .

$e^{- 2 x} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $e^{- 2 x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (0)$

Étape 2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- 2 x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.5

Définissez $- 2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $- 2 x + 1$ égal à $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $- 2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 1$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{- 2 x} (- 2 x + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x e^{- 2 x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{1}{2}) \cdot e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 (- 1) \frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot e^{- 1}$

Étape 4.1.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{2 e}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2 e})$

Étape 5