Calcul infinitésimal Exemples

${(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1) (2 x - x^{2})]$

Étape 1.1.2

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x (x + 1) + 1 (x + 1)) (2 x - x^{2})]$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (2 x - x^{2})]$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

Étape 1.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

Étape 1.1.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

Étape 1.1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1) (2 x - x^{2})]$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) (2 x - x^{2})]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ et $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}] + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Étape 1.1.5

Différenciez.

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Étape 1.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Étape 1.1.5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Étape 1.1.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Étape 1.1.5.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Étape 1.1.5.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Étape 1.1.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - (2 x)) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Étape 1.1.5.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Étape 1.1.5.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.1.5.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.1.5.10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.1.5.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.1.5.12

Multipliez $2$ par $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.1.5.13

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 + 0)$

Étape 1.1.5.14

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Factorisez $1$ à partir de $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ .

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Étape 1.1.6.1.1

Factorisez $1$ à partir de $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)$ .

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

Étape 1.1.6.1.2

Factorisez $1$ à partir de $(2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ .

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + 1 ((2 x - x^{2}) (2 x + 2))$

Étape 1.1.6.1.3

Factorisez $1$ à partir de $1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + 1 ((2 x - x^{2}) (2 x + 2))$ .

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2))$

Étape 1.1.6.2

Multipliez $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ par $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

Étape 1.1.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$(2 - 2 x) (x^{2} + 2 x + 1) + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Étape 1.1.6.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.4.1

Développez $(2 - 2 x) (x^{2} + 2 x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot 1 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Étape 1.1.6.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.4.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Étape 1.1.6.4.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Étape 1.1.6.4.2.3

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.4.2.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 (x^{2} x) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Étape 1.1.6.4.2.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.1.6.4.2.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Étape 1.1.6.4.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2 + 1} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Étape 1.1.6.4.2.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Étape 1.1.6.4.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Étape 1.1.6.4.2.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.4.2.5.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Étape 1.1.6.4.2.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Étape 1.1.6.4.2.6

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Étape 1.1.6.4.2.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Étape 1.1.6.4.3

Soustrayez $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Étape 1.1.6.4.4

Soustrayez $2 x$ de $4 x$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Étape 1.1.6.4.5

Développez $(2 x + 2) (2 x - x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.6.4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x - x^{2}) + 2 (2 x - x^{2})$

Étape 1.1.6.4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x - x^{2})$

Étape 1.1.6.4.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Étape 1.1.6.4.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.6.4.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.4.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Étape 1.1.6.4.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.4.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Étape 1.1.6.4.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Étape 1.1.6.4.6.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Étape 1.1.6.4.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Étape 1.1.6.4.6.1.5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.4.6.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Étape 1.1.6.4.6.1.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.1.6.4.6.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Étape 1.1.6.4.6.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Étape 1.1.6.4.6.1.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Étape 1.1.6.4.6.1.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Étape 1.1.6.4.6.1.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x + 2 (- x^{2})$

Étape 1.1.6.4.6.1.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x - 2 x^{2}$

Étape 1.1.6.4.6.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x$

Étape 1.1.6.5

Associez les termes opposés dans $- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x$ .

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Étape 1.1.6.5.1

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$2 x + 2 - 2 x^{3} + 0 - 2 x^{3} + 4 x$

Étape 1.1.6.5.2

Additionnez $2 x + 2 - 2 x^{3}$ et $0$ .

$2 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 4 x$

Étape 1.1.6.6

Additionnez $2 x$ et $4 x$ .

$2 - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 6 x$

Étape 1.1.6.7

Soustrayez $2 x^{3}$ de $- 2 x^{3}$ .

$f' (x) = 2 - 4 x^{3} + 6 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 - 4 x^{3} + 6 x$ .

$2 - 4 x^{3} + 6 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 - 4 x^{3} + 6 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 - 4 x^{3} + 6 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $2 - 4 x^{3} + 6 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Déplacez $2$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$- 2 (2 x^{3}) + 6 x + 2 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $- 2$ à partir de $6 x$ .

$- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x) + 2 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $- 2$ à partir de $2$ .

$- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x) - 2 \cdot - 1 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x)$ .

$- 2 (2 x^{3} - 3 x) - 2 \cdot - 1 = 0$

Étape 2.2.1.6

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (2 x^{3} - 3 x) - 2 (- 1)$ .

$- 2 (2 x^{3} - 3 x - 1) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $2 x^{3} - 3 x - 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2.2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5$

Étape 2.2.2.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.2.2.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$2 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 1$

Étape 2.2.2.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 - 1$

Étape 2.2.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 - 3 \cdot - 1 - 1$

Étape 2.2.2.1.3.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Étape 2.2.2.1.3.5

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$1 - 1$

Étape 2.2.2.1.3.6

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 2.2.2.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 3 x - 1}{x + 1}$

Étape 2.2.2.1.5

Divisez $2 x^{3} - 3 x - 1$ par $x + 1$ .

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Étape 2.2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$1$

Étape 2.2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$

Étape 2.2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 2.2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 2.2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 2.2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} - 2 x$

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 2.2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$

Étape 2.2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$

Étape 2.2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$

Étape 2.2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							-	$x$	-	$1$

Étape 2.2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x - 1$

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$

Étape 2.2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$
										$0$

Étape 2.2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} - 2 x - 1$

Étape 2.2.2.1.6

Écrivez $2 x^{3} - 3 x - 1$ comme un ensemble de facteurs.

$- 2 ((x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 (x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.5

Définissez $2 x^{2} - 2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez $2 x^{2} - 2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 2$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.1.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 2.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.4.1.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.4.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 2.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.5.1.3

Additionnez $4$ et $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.5.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 2.5.2.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 (x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1) = 0$ vraie.

$x = - 1, \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez ${(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

${((- 1) + 1)}^{2} (2 (- 1) - {(- 1)}^{2})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0^{2} (2 (- 1) - {(- 1)}^{2})$

Étape 4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 (2 (- 1) - {(- 1)}^{2})$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 (- 2 - {(- 1)}^{2})$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.2.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$0 (- 2 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2})$

Étape 4.1.2.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 (- 2 + {(- 1)}^{1 + 2})$

Étape 4.1.2.2.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$0 (- 2 + {(- 1)}^{3})$

Étape 4.1.2.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$0 (- 2 - 1)$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.3.1

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$0 \cdot - 3$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $- 3$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

${((\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) + 1)}^{2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(\frac{1 + \sqrt{3}}{2} + \frac{2}{2})}^{2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(\frac{1 + \sqrt{3} + 2}{2})}^{2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

${(\frac{3 + \sqrt{3}}{2})}^{2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.1.6

Réécrivez ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.2

Développez $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.3.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.3.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.3.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.3.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.3.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.3.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$\frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.3.3

Additionnez $3 \sqrt{3}$ et $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 + 6 \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.4

Annulez le facteur commun à $12 + 6 \sqrt{3}$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 (6) + 6 \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (6) + 2 (3 \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (6) + 2 (3 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (6 + 3 \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.4.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (6 + 3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (6 + 3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (2 \frac{1 + \sqrt{3}}{2} - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.2.2.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})$

Étape 4.2.2.5.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4})$

Étape 4.2.2.5.4

Réécrivez ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{4})$

Étape 4.2.2.5.5

Développez $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.5.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4})$

Étape 4.2.2.5.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4})$

Étape 4.2.2.5.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4})$

Étape 4.2.2.5.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.5.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.5.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4})$

Étape 4.2.2.5.6.1.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4})$

Étape 4.2.2.5.6.1.3

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4})$

Étape 4.2.2.5.6.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4})$

Étape 4.2.2.5.6.1.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4})$

Étape 4.2.2.5.6.1.6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4})$

Étape 4.2.2.5.6.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{4})$

Étape 4.2.2.5.6.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{4})$

Étape 4.2.2.5.6.3

Additionnez $\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4})$

Étape 4.2.2.5.7

Annulez le facteur commun à $4 + 2 \sqrt{3}$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.5.7.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{4})$

Étape 4.2.2.5.7.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{4})$

Étape 4.2.2.5.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4})$

Étape 4.2.2.5.7.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.5.7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2 (2)})$

Étape 4.2.2.5.7.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 2})$

Étape 4.2.2.5.7.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (1 + \sqrt{3} - \frac{2 + \sqrt{3}}{2})$

Étape 4.2.2.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.6.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2}{2} - \frac{2 + \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3})$

Étape 4.2.2.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - (2 + \sqrt{3})}{2} + \sqrt{3})$

Étape 4.2.2.7

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - 1 \cdot 2 - \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3})$

Étape 4.2.2.7.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - 2 - \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3})$

Étape 4.2.2.7.1.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{0 - \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3})$

Étape 4.2.2.7.1.4

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $0$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{- \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3})$

Étape 4.2.2.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3})$

Étape 4.2.2.8

Pour écrire $\sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 4.2.2.9

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.9.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2})$

Étape 4.2.2.9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Étape 4.2.2.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.10.1

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.2.10.2

Additionnez $- \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.2.11

Multipliez $\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 4.2.2.11.1

Multipliez $\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{(6 + 3 \sqrt{3}) \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.2.11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{(6 + 3 \sqrt{3}) \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.2.2.12

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.2.2.13

Multipliez $3 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.13.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.2.2.13.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

Étape 4.2.2.13.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Étape 4.2.2.13.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Étape 4.2.2.14

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.14.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.14.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 4.2.2.14.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 4.2.2.14.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 4.2.2.14.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.14.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 4.2.2.14.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{1}}{4}$

Étape 4.2.2.14.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{6 \sqrt{3} + 3 \cdot 3}{4}$

Étape 4.2.2.14.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{6 \sqrt{3} + 9}{4}$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

${((\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) + 1)}^{2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(\frac{1 - \sqrt{3}}{2} + \frac{2}{2})}^{2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(\frac{1 - \sqrt{3} + 2}{2})}^{2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

${(\frac{3 - \sqrt{3}}{2})}^{2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.1.6

Réécrivez ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.2

Développez $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.3.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.3.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 4.3.2.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.3.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.3.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.3.2.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.3.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.3.3

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.4

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.1

Annulez le facteur commun à $12 - 6 \sqrt{3}$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 (6) - 6 \sqrt{3}}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (6) + 2 (- 3 \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (6) + 2 (- 3 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (6 - 3 \sqrt{3})}{4} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.4.1.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (6 - 3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.4.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (6 - 3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.4.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.4.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (2 \frac{1 - \sqrt{3}}{2} - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2})$

Étape 4.3.2.4.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})$

Étape 4.3.2.4.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.4

Réécrivez ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.5

Développez $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.2.4.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.4.2.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.6.1.2

Multipliez $- \sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.6.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 4.3.2.4.2.6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.6.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.6.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.6.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.6.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.6.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.6.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.3.2.4.2.6.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.6.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.6.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.6.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.4.2.6.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.6.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.6.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.6.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.6.3

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.7

Annulez le facteur commun à $4 - 2 \sqrt{3}$ et $4$ .

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Étape 4.3.2.4.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{2 (2 - \sqrt{3})}{4})$

Étape 4.3.2.4.2.7.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.4.2.7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 2})$

Étape 4.3.2.4.2.7.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 2})$

Étape 4.3.2.4.2.7.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (1 - \sqrt{3} - \frac{2 - \sqrt{3}}{2})$

Étape 4.3.2.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.4.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2}{2} - \frac{2 - \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

Étape 4.3.2.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - (2 - \sqrt{3})}{2} - \sqrt{3})$

Étape 4.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

Étape 4.3.2.5.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - 2 - - \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

Étape 4.3.2.5.3

Multipliez $- - \sqrt{3}$ .

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Étape 4.3.2.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - 2 + 1 \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

Étape 4.3.2.5.3.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{2 - 2 + \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

Étape 4.3.2.5.4

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{0 + \sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

Étape 4.3.2.5.5

Additionnez $0$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})$

Étape 4.3.2.6

Pour écrire $- \sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 4.3.2.7

Associez les fractions.

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Étape 4.3.2.7.1

Associez $- \sqrt{3}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2})$

Étape 4.3.2.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Étape 4.3.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.8.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3.2.8.2

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $\sqrt{3}$ .

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.3.2.10

Multipliez $\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

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Étape 4.3.2.10.1

Multipliez $\frac{6 - 3 \sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{(6 - 3 \sqrt{3}) \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.2.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{(6 - 3 \sqrt{3}) \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.3.2.11

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.3.2.12

Multipliez $- 3 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Étape 4.3.2.12.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.3.2.12.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

Étape 4.3.2.12.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Étape 4.3.2.12.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Étape 4.3.2.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.13.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.3.2.13.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 4.3.2.13.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 4.3.2.13.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 4.3.2.13.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.13.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 4.3.2.13.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{1}}{4}$

Étape 4.3.2.13.1.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{6 \sqrt{3} - 3 \cdot 3}{4}$

Étape 4.3.2.13.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$- \frac{6 \sqrt{3} - 9}{4}$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(- 1, 0), (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{6 \sqrt{3} + 9}{4}), (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{6 \sqrt{3} - 9}{4})$

Étape 5