Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (32)$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $2$ par $24$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (32)$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ et $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ .

$12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) + 48 x^{2} + 48 x = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $12 x$ à partir de $48 x^{2}$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (4 x) + 48 x = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $12 x$ à partir de $48 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (4 x) + 12 x (4) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x^{2}) + 12 x (4 x)$ .

$12 x (x^{2} + 4 x) + 12 x (4) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x^{2} + 4 x) + 12 x (4)$ .

$12 x (x^{2} + 4 x + 4) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$12 x (x^{2} + 4 x + 2^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$12 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$12 x {(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez ${(x + 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 x {(x + 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, - 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$3 {(0)}^{4} + 16 {(0)}^{3} + 24 {(0)}^{2} + 32$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \cdot 0 + 16 {(0)}^{3} + 24 {(0)}^{2} + 32$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 + 16 {(0)}^{3} + 24 {(0)}^{2} + 32$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 16 \cdot 0 + 24 {(0)}^{2} + 32$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $16$ par $0$ .

$0 + 0 + 24 {(0)}^{2} + 32$

Étape 4.1.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + 24 \cdot 0 + 32$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $24$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 32$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 + 32$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 32$

Étape 4.1.2.2.3

Additionnez $0$ et $32$ .

$32$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$3 {(- 2)}^{4} + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$3 \cdot 16 + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$48 + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$48 + 16 \cdot - 8 + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $16$ par $- 8$ .

$48 - 128 + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Étape 4.2.2.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$48 - 128 + 24 \cdot 4 + 32$

Étape 4.2.2.1.6

Multipliez $24$ par $4$ .

$48 - 128 + 96 + 32$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $128$ de $48$ .

$- 80 + 96 + 32$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $- 80$ et $96$ .

$16 + 32$

Étape 4.2.2.2.3

Additionnez $16$ et $32$ .

$48$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 32), (- 2, 48)$

Étape 5