Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 + \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{2}) x$

Étape 1.1.3.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- 2}{2} x$

Étape 1.1.3.5

Associez $\frac{- 2}{2}$ et $x$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- 2 x}{2}$

Étape 1.1.3.6

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2}$

Étape 1.1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Étape 1.1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- x}{1}$

Étape 1.1.3.6.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$0 + \frac{1}{3} - x$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Additionnez $0$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} - x$

Étape 1.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - x + \frac{1}{3}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- x + \frac{1}{3}$ .

$- x + \frac{1}{3}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- x + \frac{1}{3} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- x + \frac{1}{3} = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $\frac{1}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - \frac{1}{3}$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- x = - \frac{1}{3}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x = - \frac{1}{3}$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

Étape 2.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{\frac{1}{3}}{1}$

Étape 2.3.3.2

Divisez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{1}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{3}$ .

$4 + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $\frac{1}{3} (\frac{1}{3})$ .

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Étape 4.1.2.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$4 + \frac{1}{3 \cdot 3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Étape 4.1.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{2}}$

Étape 4.1.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}$ .

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Étape 4.1.2.1.5.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{1}{2}$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{9 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.1.5.2

Multipliez $9$ par $2$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Étape 4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.1.2.2.1

Écrivez $4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{4}{1} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{18}{18}$ .

$\frac{4}{1} \cdot \frac{18}{18} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Étape 4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{18}{18}$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Étape 4.1.2.2.4

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{18}$

Étape 4.1.2.2.5

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{9 \cdot 2} - \frac{1}{18}$

Étape 4.1.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 2$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{2 \cdot 9} - \frac{1}{18}$

Étape 4.1.2.2.7

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{18} - \frac{1}{18}$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 \cdot 18 + 2 - 1}{18}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $4$ par $18$ .

$\frac{72 + 2 - 1}{18}$

Étape 4.1.2.4.2

Additionnez $72$ et $2$ .

$\frac{74 - 1}{18}$

Étape 4.1.2.4.3

Soustrayez $1$ de $74$ .

$\frac{73}{18}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(\frac{1}{3}, \frac{73}{18})$

Étape 5