Calcul infinitésimal Exemples

Trouver les points critiques f(x)=3x(16-x)^3
Étape 1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est et .
Étape 1.1.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.1.4
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.4.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.4.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.4.3
Additionnez et .
Étape 1.1.4.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.4.5
Multipliez par .
Étape 1.1.4.6
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.4.7
Multipliez par .
Étape 1.1.4.8
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.4.9
Multipliez par .
Étape 1.1.5
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.5.2
Multipliez par .
Étape 1.1.5.3
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.5.3.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.5.3.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.5.4
Soustrayez de .
Étape 1.1.5.5
Réécrivez comme .
Étape 1.1.5.6
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.6.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.5.6.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.5.6.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.5.7
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.7.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.7.1.1
Multipliez par .
Étape 1.1.5.7.1.2
Multipliez par .
Étape 1.1.5.7.1.3
Multipliez par .
Étape 1.1.5.7.1.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.1.5.7.1.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.7.1.5.1
Déplacez .
Étape 1.1.5.7.1.5.2
Multipliez par .
Étape 1.1.5.7.1.6
Multipliez par .
Étape 1.1.5.7.1.7
Multipliez par .
Étape 1.1.5.7.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.5.8
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.5.9
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.9.1
Multipliez par .
Étape 1.1.5.9.2
Multipliez par .
Étape 1.1.5.10
Développez en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.
Étape 1.1.5.11
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.11.1
Multipliez par .
Étape 1.1.5.11.2
Multipliez par .
Étape 1.1.5.11.3
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.1.5.11.4
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.11.4.1
Déplacez .
Étape 1.1.5.11.4.2
Multipliez par .
Étape 1.1.5.11.5
Multipliez par .
Étape 1.1.5.11.6
Multipliez par .
Étape 1.1.5.11.7
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.1.5.11.8
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.11.8.1
Déplacez .
Étape 1.1.5.11.8.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.5.11.8.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.1.5.11.8.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.1.5.11.8.3
Additionnez et .
Étape 1.1.5.11.9
Multipliez par .
Étape 1.1.5.11.10
Multipliez par .
Étape 1.1.5.12
Soustrayez de .
Étape 1.1.5.13
Additionnez et .
Étape 1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 2
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 2.2
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.1.6
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.1.7
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.2
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 2.2.3
Factorisez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.1
Factorisez en utilisant le test des racines rationnelles.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.1.1
Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme est un facteur de la constante et est un facteur du coefficient directeur.
Étape 2.2.3.1.2
Déterminez chaque combinaison de . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.
Étape 2.2.3.1.3
Remplacez et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à donc est une racine du polynôme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.1.3.1
Remplacez dans le polynôme.
Étape 2.2.3.1.3.2
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.3.1.3.3
Multipliez par .
Étape 2.2.3.1.3.4
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.3.1.3.5
Multipliez par .
Étape 2.2.3.1.3.6
Additionnez et .
Étape 2.2.3.1.3.7
Multipliez par .
Étape 2.2.3.1.3.8
Soustrayez de .
Étape 2.2.3.1.3.9
Additionnez et .
Étape 2.2.3.1.4
Comme est une racine connue, divisez le polynôme par pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.
Étape 2.2.3.1.5
Divisez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.1.5.1
Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de .
--+-+
Étape 2.2.3.1.5.2
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
-
--+-+
Étape 2.2.3.1.5.3
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
-
--+-+
-+
Étape 2.2.3.1.5.4
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
-
--+-+
+-
Étape 2.2.3.1.5.5
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
-
--+-+
+-
+
Étape 2.2.3.1.5.6
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
-
--+-+
+-
+-
Étape 2.2.3.1.5.7
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
-+
--+-+
+-
+-
Étape 2.2.3.1.5.8
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
-+
--+-+
+-
+-
+-
Étape 2.2.3.1.5.9
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
-+
--+-+
+-
+-
-+
Étape 2.2.3.1.5.10
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
-+
--+-+
+-
+-
-+
-
Étape 2.2.3.1.5.11
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
-+
--+-+
+-
+-
-+
-+
Étape 2.2.3.1.5.12
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
-+-
--+-+
+-
+-
-+
-+
Étape 2.2.3.1.5.13
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
-+-
--+-+
+-
+-
-+
-+
-+
Étape 2.2.3.1.5.14
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
-+-
--+-+
+-
+-
-+
-+
+-
Étape 2.2.3.1.5.15
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
-+-
--+-+
+-
+-
-+
-+
+-
Étape 2.2.3.1.5.16
Comme le reste est , la réponse finale est le quotient.
Étape 2.2.3.1.6
Écrivez comme un ensemble de facteurs.
Étape 2.2.3.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 2.2.4
Factorisez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.4.1
Factorisez par regroupement.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.4.1.1
Pour un polynôme de la forme , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est et dont la somme est .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.4.1.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.4.1.1.2
Réécrivez comme plus
Étape 2.2.4.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.2.4.1.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.4.1.2.1
Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.
Étape 2.2.4.1.2.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Étape 2.2.4.1.3
Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, .
Étape 2.2.4.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 2.2.5
Associez les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.5.2
Réécrivez comme .
Étape 2.2.5.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.5.4
Réécrivez comme .
Étape 2.2.5.5
Supprimez les parenthèses.
Étape 2.2.5.6
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.5.7
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.5.8
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.2.5.9
Additionnez et .
Étape 2.2.5.10
Multipliez par .
Étape 2.3
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 2.4
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.1
Définissez égal à .
Étape 2.4.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 2.5
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.1
Définissez égal à .
Étape 2.5.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.2.1
Définissez le égal à .
Étape 2.5.2.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 2.6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 3
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 4
Évaluez sur chaque valeur où la dérivée est ou indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1
Remplacez par .
Étape 4.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.3
Soustrayez de .
Étape 4.1.2.4
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.4.1
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.4.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 4.1.2.4.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 4.1.2.4.2
Additionnez et .
Étape 4.1.2.5
Élevez à la puissance .
Étape 4.2
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1
Remplacez par .
Étape 4.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.2.1
Multipliez par .
Étape 4.2.2.2
Multipliez par .
Étape 4.2.2.3
Soustrayez de .
Étape 4.2.2.4
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 4.2.2.5
Multipliez par .
Étape 4.3
Indiquez tous les points.
Étape 5