Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$15 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 10$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \cdot 1$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $15$ par $1$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$

Étape 2.2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$15 u^{2} - 30 u + 15 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.1

Factorisez $15$ à partir de $15 u^{2} - 30 u + 15$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $15$ à partir de $15 u^{2}$ .

$15 (u^{2}) - 30 u + 15 = 0$

Étape 2.3.1.2

Factorisez $15$ à partir de $- 30 u$ .

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 = 0$

Étape 2.3.1.3

Factorisez $15$ à partir de $15$ .

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 (1) = 0$

Étape 2.3.1.4

Factorisez $15$ à partir de $15 (u^{2}) + 15 (- 2 u)$ .

$15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1) = 0$

Étape 2.3.1.5

Factorisez $15$ à partir de $15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1)$ .

$15 (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Étape 2.3.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.3.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$15 (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Étape 2.3.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 2.3.2.3

Réécrivez le polynôme.

$15 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 2.3.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$15 {(u - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $15 {(u - 1)}^{2} = 0$ par $15$ et simplifiez.

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Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $15 {(u - 1)}^{2} = 0$ par $15$ .

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

Étape 2.4.2.1.2

Divisez ${(u - 1)}^{2}$ par $1$ .

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{15}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Divisez $0$ par $15$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.5

Définissez le $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 2.6

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 2.7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 1$

Étape 2.8

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.8.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 2.8.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 2.8.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.8.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 2.8.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 2.8.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$3 {(1)}^{5} - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 \cdot 1 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Étape 4.1.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 - 10 \cdot 1 + 15 (1)$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$3 - 10 + 15 (1)$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $15$ par $1$ .

$3 - 10 + 15$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $10$ de $3$ .

$- 7 + 15$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $- 7$ et $15$ .

$8$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$3 {(- 1)}^{5} - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$3 \cdot - 1 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 3 - 10 \cdot - 1 + 15 (- 1)$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 10$ par $- 1$ .

$- 3 + 10 + 15 (- 1)$

Étape 4.2.2.1.5

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$- 3 + 10 - 15$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Additionnez $- 3$ et $10$ .

$7 - 15$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $15$ de $7$ .

$- 8$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(1, 8), (- 1, - 8)$

Étape 5