Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} + 2 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + x^{2} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{2} + 2 x + 2$ .

$6 x^{2} + 2 x + 2$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} + 2 x + 2 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{2} + 2 x + 2 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2} + 2 x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2}$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 x + 2 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (x) + 2 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (x) + 2 (1) = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x^{2}) + 2 (x)$ .

$2 (3 x^{2} + x) + 2 (1) = 0$

Étape 2.2.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x^{2} + x) + 2 (1)$ .

$2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x^{2} + x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $3 x^{2} + x + 1$ par $1$ .

$3 x^{2} + x + 1 = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$3 x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 2.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.3

Soustrayez $12$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez $- 11$ comme $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (11)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.3

Soustrayez $12$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.4

Réécrivez $- 11$ comme $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (11)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Étape 2.7.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{11}}{6}$

Étape 2.7.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{11}}{6}$

Étape 2.7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{11})}{6}$

Étape 2.7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{11})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{11})}{6}$

Étape 2.7.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.3

Soustrayez $12$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.4

Réécrivez $- 11$ comme $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (11)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Étape 2.8.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{11}}{6}$

Étape 2.8.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{11}}{6}$

Étape 2.8.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{11})}{6}$

Étape 2.8.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{11})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{11})}{6}$

Étape 2.8.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

Étape 2.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé