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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 1.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 1.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Étape 1.1.2.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 1.1.2.2
Placez la limite sous le radical.
Étape 1.1.2.3
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 1.1.2.4
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 1.1.2.5
Placez la limite sous le radical.
Étape 1.1.2.6
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 1.1.2.7
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 1.1.2.8
Évaluez les limites en insérant pour toutes les occurrences de .
Étape 1.1.2.8.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.1.2.8.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.1.2.9
Simplifiez la réponse.
Étape 1.1.2.9.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.1.2.9.1.1
Additionnez et .
Étape 1.1.2.9.1.2
Toute racine de est .
Étape 1.1.2.9.1.3
Additionnez et .
Étape 1.1.2.9.1.4
Toute racine de est .
Étape 1.1.2.9.1.5
Multipliez par .
Étape 1.1.2.9.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.3
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 1.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 1.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Étape 1.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 1.3.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.3
Évaluez .
Étape 1.3.3.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.3.3.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 1.3.3.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.3.3.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.3.3.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.3.3.3
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.3.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.3.5
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.3.3.6
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.3.3.7
Associez et .
Étape 1.3.3.8
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.3.3.9
Simplifiez le numérateur.
Étape 1.3.3.9.1
Multipliez par .
Étape 1.3.3.9.2
Soustrayez de .
Étape 1.3.3.10
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.3.3.11
Additionnez et .
Étape 1.3.3.12
Associez et .
Étape 1.3.3.13
Multipliez par .
Étape 1.3.3.14
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.3.4
Évaluez .
Étape 1.3.4.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.3.4.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.4.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 1.3.4.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.3.4.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.3.4.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.3.4.4
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.4.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.4.6
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.4.7
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.3.4.8
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.3.4.9
Associez et .
Étape 1.3.4.10
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.3.4.11
Simplifiez le numérateur.
Étape 1.3.4.11.1
Multipliez par .
Étape 1.3.4.11.2
Soustrayez de .
Étape 1.3.4.12
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.3.4.13
Multipliez par .
Étape 1.3.4.14
Soustrayez de .
Étape 1.3.4.15
Associez et .
Étape 1.3.4.16
Associez et .
Étape 1.3.4.17
Déplacez à gauche de .
Étape 1.3.4.18
Réécrivez comme .
Étape 1.3.4.19
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.3.4.20
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.3.4.21
Multipliez par .
Étape 1.3.4.22
Multipliez par .
Étape 1.3.5
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.4
Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.
Étape 1.4.1
Réécrivez comme .
Étape 1.4.2
Réécrivez comme .
Étape 1.5
Divisez par .
Étape 2
Étape 2.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.2
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.3
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.4
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 2.5
Placez la limite sous le radical.
Étape 2.6
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.7
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 2.8
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.9
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.10
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 2.11
Placez la limite sous le radical.
Étape 2.12
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.13
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 3
Étape 3.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 3.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 4
Étape 4.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 4.1.1
Simplifiez le dénominateur.
Étape 4.1.1.1
Additionnez et .
Étape 4.1.1.2
Toute racine de est .
Étape 4.1.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 4.1.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.1.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 4.1.3
Multipliez par .
Étape 4.1.4
Simplifiez le dénominateur.
Étape 4.1.4.1
Additionnez et .
Étape 4.1.4.2
Toute racine de est .
Étape 4.1.5
Annulez le facteur commun de .
Étape 4.1.5.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.1.5.2
Réécrivez l’expression.
Étape 4.1.6
Multipliez par .
Étape 4.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.3
Additionnez et .
Étape 4.4
Divisez par .