Calcul infinitésimal Exemples

$6 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 169 (x^{2} - y^{2})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (6 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (169 (x^{2} - y^{2}))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$6 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$12 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$12 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$12 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$12 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Étape 2.6

Appliquez la propriété distributive.

$(12 x^{2} + 12 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Comme $169$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $169 (x^{2} - y^{2})$ par rapport à $x$ est $169 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$169 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$169 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$169 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Étape 3.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$169 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$169 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$169 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$169 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$169 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$169 (2 x - 2 y y')$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$169 (2 x) + 169 (- 2 y y')$

Étape 3.5.2

Associez des termes.

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $2$ par $169$ .

$338 x + 169 (- 2 y y')$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $- 2$ par $169$ .

$338 x - 338 y y'$

Étape 3.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 338 y y' + 338 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$(12 x^{2} + 12 y^{2}) (2 x + 2 y y') = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $(12 x^{2} + 12 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (12 x^{2} + 12 y^{2}) (2 x + 2 y y') = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(12 x^{2} + 12 y^{2}) (2 x + 2 y y') = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5.1.3

Développez $(12 x^{2} + 12 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 x^{2} (2 x + 2 y y') + 12 y^{2} (2 x + 2 y y') = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$12 x^{2} (2 x) + 12 x^{2} (2 y y') + 12 y^{2} (2 x + 2 y y') = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 x^{2} (2 x) + 12 x^{2} (2 y y') + 12 y^{2} (2 x) + 12 y^{2} (2 y y') = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 \cdot 2 x^{2} x + 12 x^{2} (2 y y') + 12 y^{2} (2 x) + 12 y^{2} (2 y y') = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.4.2.1

Déplacez $x$ .

$12 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 12 x^{2} (2 y y') + 12 y^{2} (2 x) + 12 y^{2} (2 y y') = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5.1.4.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.1.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$12 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 12 x^{2} (2 y y') + 12 y^{2} (2 x) + 12 y^{2} (2 y y') = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5.1.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 \cdot 2 x^{1 + 2} + 12 x^{2} (2 y y') + 12 y^{2} (2 x) + 12 y^{2} (2 y y') = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5.1.4.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$12 \cdot 2 x^{3} + 12 x^{2} (2 y y') + 12 y^{2} (2 x) + 12 y^{2} (2 y y') = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $12$ par $2$ .

$24 x^{3} + 12 x^{2} (2 y y') + 12 y^{2} (2 x) + 12 y^{2} (2 y y') = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5.1.4.4

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 x^{3} + 24 x^{2} (y y') + 12 y^{2} (2 x) + 12 y^{2} (2 y y') = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5.1.4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24 x^{3} + 24 x^{2} y y' + 12 \cdot 2 y^{2} x + 12 y^{2} (2 y y') = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5.1.4.6

Multipliez $12$ par $2$ .

$24 x^{3} + 24 x^{2} y y' + 24 y^{2} x + 12 y^{2} (2 y y') = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5.1.4.7

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.4.7.1

Déplacez $y$ .

$24 x^{3} + 24 x^{2} y y' + 24 y^{2} x + 12 (y \cdot y^{2}) (2 y') = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5.1.4.7.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 5.1.4.7.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$24 x^{3} + 24 x^{2} y y' + 24 y^{2} x + 12 (y^{1} y^{2}) (2 y') = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5.1.4.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24 x^{3} + 24 x^{2} y y' + 24 y^{2} x + 12 y^{1 + 2} (2 y') = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5.1.4.7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$24 x^{3} + 24 x^{2} y y' + 24 y^{2} x + 12 y^{3} (2 y') = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5.1.4.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24 x^{3} + 24 x^{2} y y' + 24 y^{2} x + 12 \cdot 2 y^{3} y' = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5.1.4.9

Multipliez $12$ par $2$ .

$24 x^{3} + 24 x^{2} y y' + 24 y^{2} x + 24 y^{3} y' = - 338 y y' + 338 x$

Étape 5.2

Ajoutez $338 y y'$ aux deux côtés de l’équation.

$24 x^{3} + 24 x^{2} y y' + 24 y^{2} x + 24 y^{3} y' + 338 y y' = 338 x$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $24 x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$24 x^{2} y y' + 24 y^{2} x + 24 y^{3} y' + 338 y y' = 338 x - 24 x^{3}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $24 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$24 x^{2} y y' + 24 y^{3} y' + 338 y y' = 338 x - 24 x^{3} - 24 y^{2} x$

Étape 5.4

Factorisez $2 y y'$ à partir de $24 x^{2} y y' + 24 y^{3} y' + 338 y y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $2 y y'$ à partir de $24 x^{2} y y'$ .

$2 y y' (12 x^{2}) + 24 y^{3} y' + 338 y y' = 338 x - 24 x^{3} - 24 y^{2} x$

Étape 5.4.2

Factorisez $2 y y'$ à partir de $24 y^{3} y'$ .

$2 y y' (12 x^{2}) + 2 y y' (12 y^{2}) + 338 y y' = 338 x - 24 x^{3} - 24 y^{2} x$

Étape 5.4.3

Factorisez $2 y y'$ à partir de $338 y y'$ .

$2 y y' (12 x^{2}) + 2 y y' (12 y^{2}) + 2 y y' \cdot 169 = 338 x - 24 x^{3} - 24 y^{2} x$

Étape 5.4.4

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 y y' (12 x^{2}) + 2 y y' (12 y^{2})$ .

$2 y y' (12 x^{2} + 12 y^{2}) + 2 y y' \cdot 169 = 338 x - 24 x^{3} - 24 y^{2} x$

Étape 5.4.5

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 y y' (12 x^{2} + 12 y^{2}) + 2 y y' \cdot 169$ .

$2 y y' (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169) = 338 x - 24 x^{3} - 24 y^{2} x$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $2 y y' (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169) = 338 x - 24 x^{3} - 24 y^{2} x$ par $2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169) = 338 x - 24 x^{3} - 24 y^{2} x$ par $2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)$ .

$\frac{2 y y' (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} = \frac{338 x}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{- 24 x^{3}}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{- 24 y^{2} x}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} = \frac{338 x}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{- 24 x^{3}}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{- 24 y^{2} x}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}{12 x^{2} + 12 y^{2} + 169} = \frac{338 x}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{- 24 x^{3}}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{- 24 y^{2} x}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.2.3

Annulez le facteur commun de $12 x^{2} + 12 y^{2} + 169$ .

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Étape 5.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{338 x}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{- 24 x^{3}}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{- 24 y^{2} x}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $338$ et $2$ .

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Étape 5.5.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $338 x$ .

$y' = \frac{2 (169 x)}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{- 24 x^{3}}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{- 24 y^{2} x}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)$ .

$y' = \frac{2 (169 x)}{2 (y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169))} + \frac{- 24 x^{3}}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{- 24 y^{2} x}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (169 x)}{2 (y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169))} + \frac{- 24 x^{3}}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{- 24 y^{2} x}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{169 x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{- 24 x^{3}}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{- 24 y^{2} x}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $2$ .

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Étape 5.5.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 24 x^{3}$ .

$y' = \frac{169 x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{2 (- 12 x^{3})}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{- 24 y^{2} x}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)$ .

$y' = \frac{169 x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{2 (- 12 x^{3})}{2 (y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169))} + \frac{- 24 y^{2} x}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{169 x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{2 (- 12 x^{3})}{2 (y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169))} + \frac{- 24 y^{2} x}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{169 x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{- 12 x^{3}}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{- 24 y^{2} x}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{169 x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} - \frac{12 x^{3}}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{- 24 y^{2} x}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.1.4

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $2$ .

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Étape 5.5.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 24 y^{2} x$ .

$y' = \frac{169 x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} - \frac{12 x^{3}}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{2 (- 12 y^{2} x)}{2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)$ .

$y' = \frac{169 x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} - \frac{12 x^{3}}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{2 (- 12 y^{2} x)}{2 (y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169))}$

Étape 5.5.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{169 x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} - \frac{12 x^{3}}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{2 (- 12 y^{2} x)}{2 (y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169))}$

Étape 5.5.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{169 x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} - \frac{12 x^{3}}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{- 12 y^{2} x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.1.5

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 5.5.3.1.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- 12 y^{2} x$ .

$y' = \frac{169 x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} - \frac{12 x^{3}}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{y (- 12 y x)}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{169 x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} - \frac{12 x^{3}}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{y (- 12 y x)}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{169 x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} - \frac{12 x^{3}}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{- 12 y x}{12 x^{2} + 12 y^{2} + 169}$

Étape 5.5.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{169 x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} - \frac{12 x^{3}}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} - \frac{12 y x}{12 x^{2} + 12 y^{2} + 169}$

Étape 5.5.3.2

Pour écrire $- \frac{12 y x}{12 x^{2} + 12 y^{2} + 169}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{12 x^{3}}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{169 x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} - \frac{12 y x}{12 x^{2} + 12 y^{2} + 169} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 5.5.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.5.3.3.1

Multipliez $\frac{12 y x}{12 x^{2} + 12 y^{2} + 169}$ par $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{12 x^{3}}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{169 x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} - \frac{12 y x y}{(12 x^{2} + 12 y^{2} + 169) y}$

Étape 5.5.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(12 x^{2} + 12 y^{2} + 169) y$ .

$y' = - \frac{12 x^{3}}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{169 x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} - \frac{12 y x y}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{12 x^{3}}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)} + \frac{169 x - 12 y x y}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 12 x^{3} + 169 x - 12 y x y}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.6

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.6.1

Déplacez $y$ .

$y' = \frac{- 12 x^{3} + 169 x - 12 (y \cdot y) x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.6.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y' = \frac{- 12 x^{3} + 169 x - 12 y^{2} x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.7

Factorisez $x$ à partir de $- 12 x^{3} + 169 x - 12 y^{2} x$ .

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Étape 5.5.3.7.1

Factorisez $x$ à partir de $- 12 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 12 x^{2}) + 169 x - 12 y^{2} x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.7.2

Factorisez $x$ à partir de $169 x$ .

$y' = \frac{x (- 12 x^{2}) + x \cdot 169 - 12 y^{2} x}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.7.3

Factorisez $x$ à partir de $- 12 y^{2} x$ .

$y' = \frac{x (- 12 x^{2}) + x \cdot 169 + x (- 12 y^{2})}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.7.4

Factorisez $x$ à partir de $x (- 12 x^{2}) + x \cdot 169$ .

$y' = \frac{x (- 12 x^{2} + 169) + x (- 12 y^{2})}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.7.5

Factorisez $x$ à partir de $x (- 12 x^{2} + 169) + x (- 12 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 12 x^{2} + 169 - 12 y^{2})}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (12 x^{2}) + 169 - 12 y^{2})}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.9

Réécrivez $169$ comme $- 1 (- 169)$ .

$y' = \frac{x (- (12 x^{2}) - 1 (- 169) - 12 y^{2})}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (12 x^{2}) - 1 (- 169)$ .

$y' = \frac{x (- (12 x^{2} - 169) - 12 y^{2})}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- 12 y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (12 x^{2} - 169) - (12 y^{2}))}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (12 x^{2} - 169) - (12 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- (12 x^{2} - 169 + 12 y^{2}))}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.3.13.1

Réécrivez $- (12 x^{2} - 169 + 12 y^{2})$ comme $- 1 (12 x^{2} - 169 + 12 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 1 (12 x^{2} - 169 + 12 y^{2}))}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 5.5.3.13.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x (12 x^{2} - 169 + 12 y^{2})}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (12 x^{2} - 169 + 12 y^{2})}{y (12 x^{2} + 12 y^{2} + 169)}$