Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{5 x}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{5}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{x}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 12 x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 12 x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3

Placez le terme $12$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.5

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0^{3} + 12 \cdot 0^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.6.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0^{3} + 12 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.7.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 12 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.7.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 12 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.7.1.3

Multipliez $12$ par $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.7.1.4

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.7.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.7.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 12 x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 12 x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 12 x^{2} - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.4.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 12 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 2.3.5.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x - 5}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x - 5}{1}$

Étape 2.4

Divisez $3 x^{2} + 24 x - 5$ par $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 24 x - 5$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{5} (lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 24 x - lim_{x \to 0} 5)$

Étape 3.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} (3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 24 x - lim_{x \to 0} 5)$

Étape 3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{5} (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 24 x - lim_{x \to 0} 5)$

Étape 3.4

Placez le terme $24$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 5)$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{5} (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5)$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 0^{2} + 24 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5)$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 0^{2} + 24 \cdot 0 - 1 \cdot 5)$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 0 + 24 \cdot 0 - 1 \cdot 5)$

Étape 5.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{5} (0 + 24 \cdot 0 - 1 \cdot 5)$

Étape 5.1.3

Multipliez $24$ par $0$ .

$\frac{1}{5} (0 + 0 - 1 \cdot 5)$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{1}{5} (0 + 0 - 5)$

Étape 5.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{5} (0 - 5)$

Étape 5.3

Soustrayez $5$ de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot - 5$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$\frac{1}{5} \cdot (5 (- 1))$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{5} \cdot (5 \cdot - 1)$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 1$