Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (4 x)}{3 x}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (4 x)}{x}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (4 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} \sin (4 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (4 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (4 x)$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (4 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (4 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \cos (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 \sin (4 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 \sin (4 x) \cos (4 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.7

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 \sin (4 x) \cos (4 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.8

Réorganisez les facteurs de $8 \sin (4 x) \cos (4 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \sin (4 x)}{1}$

Étape 2.4

Divisez $8 \cos (4 x) \sin (4 x)$ par $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} 8 \cos (4 x) \sin (4 x)$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \sin (4 x)$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)$

Étape 3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)$

Étape 3.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)$

Étape 3.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x)$

Étape 3.6

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$\frac{8}{3} \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)$

Étape 5.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{8}{3} \cos (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)$

Étape 5.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{8}{3} \cdot 1 \cdot \sin (4 \cdot 0)$

Étape 5.4

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $1$ .

$\frac{8}{3} \cdot \sin (4 \cdot 0)$

Étape 5.5

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{8}{3} \cdot \sin (0)$

Étape 5.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{8}{3} \cdot 0$

Étape 5.7

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $0$ .

$0$