Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Étape 1.1.3.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 1.3.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Étape 2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Étape 2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Étape 2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (0)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (0)}$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (0)}$ comme ${(\frac{1}{\sec (0)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sec (0)})}^{2}$

Étape 4.3

Réécrivez $\sec (0)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}})}^{2}$

Étape 4.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (0)}$ .

${(1 \cos (0))}^{2}$

Étape 4.5

Multipliez $\cos (0)$ par $1$ .

$\cos^{2} (0)$

Étape 4.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1^{2}$

Étape 4.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1$