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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.3
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Étape 1.3.1
Multipliez par .
Étape 1.3.2
Multipliez par .
Étape 1.3.3
Réorganisez les facteurs de .
Étape 1.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2
Étape 2.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 2.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 2.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Étape 2.1.2.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.1.2.2
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 2.1.2.3
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.1.2.4
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.1.2.5
Placez la limite sous le radical.
Étape 2.1.2.6
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 2.1.2.7
Évaluez les limites en insérant pour toutes les occurrences de .
Étape 2.1.2.7.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 2.1.2.7.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 2.1.2.8
Simplifiez la réponse.
Étape 2.1.2.8.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.1.2.8.1.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.8.1.2
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.1.2.8.1.2.1
Réécrivez comme .
Étape 2.1.2.8.1.2.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 2.1.2.8.1.2.3
Multipliez par .
Étape 2.1.2.8.1.3
Soustrayez de .
Étape 2.1.2.8.1.4
Multipliez par .
Étape 2.1.2.8.2
Soustrayez de .
Étape 2.1.2.8.3
Additionnez et .
Étape 2.1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Étape 2.1.3.1
Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.1.3.2
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.1.3.3
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 2.1.3.4
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.1.3.5
Placez la limite sous le radical.
Étape 2.1.3.6
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 2.1.3.7
Évaluez les limites en insérant pour toutes les occurrences de .
Étape 2.1.3.7.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 2.1.3.7.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 2.1.3.8
Simplifiez la réponse.
Étape 2.1.3.8.1
Multipliez par .
Étape 2.1.3.8.2
Soustrayez de .
Étape 2.1.3.8.3
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.1.3.8.3.1
Réécrivez comme .
Étape 2.1.3.8.3.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 2.1.3.8.3.3
Multipliez par .
Étape 2.1.3.8.4
Soustrayez de .
Étape 2.1.3.8.5
Multipliez par .
Étape 2.1.3.8.6
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 2.1.3.9
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 2.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 2.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 2.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Étape 2.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 2.3.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.3.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.5
Évaluez .
Étape 2.3.5.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 2.3.5.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.5.3
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.5.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.3.5.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.5.6
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.3.5.7
Associez et .
Étape 2.3.5.8
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.3.5.9
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.3.5.9.1
Multipliez par .
Étape 2.3.5.9.2
Soustrayez de .
Étape 2.3.5.10
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.3.5.11
Additionnez et .
Étape 2.3.5.12
Associez et .
Étape 2.3.5.13
Associez et .
Étape 2.3.5.14
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 2.3.5.15
Factorisez à partir de .
Étape 2.3.5.16
Annulez les facteurs communs.
Étape 2.3.5.16.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.3.5.16.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.3.5.16.3
Réécrivez l’expression.
Étape 2.3.5.17
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.3.6
Additionnez et .
Étape 2.3.7
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 2.3.8
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 2.3.9
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.10
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.3.11
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.3.12
Associez et .
Étape 2.3.13
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.3.14
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.3.14.1
Multipliez par .
Étape 2.3.14.2
Soustrayez de .
Étape 2.3.15
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.3.16
Associez et .
Étape 2.3.17
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 2.3.18
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.19
Additionnez et .
Étape 2.3.20
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.21
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.3.22
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.23
Additionnez et .
Étape 2.3.24
Multipliez par .
Étape 2.3.25
Simplifiez
Étape 2.3.25.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.3.25.2
Associez des termes.
Étape 2.3.25.2.1
Associez et .
Étape 2.3.25.2.2
Placez sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 2.3.25.2.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.3.25.2.3.1
Multipliez par .
Étape 2.3.25.2.3.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.3.25.2.3.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.3.25.2.3.2
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 2.3.25.2.3.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.3.25.2.3.4
Soustrayez de .
Étape 2.3.25.2.4
Associez et .
Étape 2.3.25.2.5
Factorisez à partir de .
Étape 2.3.25.2.6
Annulez les facteurs communs.
Étape 2.3.25.2.6.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.3.25.2.6.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.3.25.2.6.3
Réécrivez l’expression.
Étape 2.3.25.2.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.3.25.2.8
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.3.25.2.9
Associez et .
Étape 2.3.25.2.10
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.3.25.2.11
Déplacez à gauche de .
Étape 2.3.25.2.12
Additionnez et .
Étape 2.3.25.3
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 2.4
Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.
Étape 2.4.1
Réécrivez comme .
Étape 2.4.2
Réécrivez comme .
Étape 2.4.3
Réécrivez comme .
Étape 2.5
Associez des termes.
Étape 2.5.1
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 2.5.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.5.3
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.5.4
Associez et .
Étape 2.5.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.5.6
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.5.7
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.5.8
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Étape 2.5.8.1
Multipliez par .
Étape 2.5.8.2
Multipliez par .
Étape 2.5.8.3
Réorganisez les facteurs de .
Étape 2.5.9
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3
Étape 3.1
Simplifiez l’argument limite.
Étape 3.1.1
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 3.1.2
Combinez les facteurs.
Étape 3.1.2.1
Multipliez par .
Étape 3.1.2.2
Multipliez par .
Étape 3.1.2.3
Multipliez par .
Étape 3.1.3
Annulez le facteur commun de .
Étape 3.1.3.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.1.3.2
Réécrivez l’expression.
Étape 3.2
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 4
Étape 4.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 4.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 4.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Étape 4.1.2.1
Évaluez la limite.
Étape 4.1.2.1.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 4.1.2.1.2
Placez la limite sous le radical.
Étape 4.1.2.1.3
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 4.1.2.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 4.1.2.3
Simplifiez la réponse.
Étape 4.1.2.3.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 4.1.2.3.1.1
Réécrivez comme .
Étape 4.1.2.3.1.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 4.1.2.3.1.3
Multipliez par .
Étape 4.1.2.3.2
Soustrayez de .
Étape 4.1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Étape 4.1.3.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 4.1.3.2
Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 4.1.3.3
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 4.1.3.4
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 4.1.3.5
Placez la limite sous le radical.
Étape 4.1.3.6
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 4.1.3.7
Placez la limite sous le radical.
Étape 4.1.3.8
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 4.1.3.9
Évaluez les limites en insérant pour toutes les occurrences de .
Étape 4.1.3.9.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 4.1.3.9.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 4.1.3.10
Simplifiez la réponse.
Étape 4.1.3.10.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 4.1.3.10.1.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 4.1.3.10.1.1.1
Réécrivez comme .
Étape 4.1.3.10.1.1.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 4.1.3.10.1.1.3
Multipliez par .
Étape 4.1.3.10.1.1.4
Multipliez par .
Étape 4.1.3.10.1.2
Soustrayez de .
Étape 4.1.3.10.1.3
Réécrivez comme .
Étape 4.1.3.10.1.4
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 4.1.3.10.1.5
Multipliez par .
Étape 4.1.3.10.1.6
Multipliez par .
Étape 4.1.3.10.2
Soustrayez de .
Étape 4.1.3.10.3
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 4.1.3.11
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 4.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 4.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 4.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Étape 4.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 4.3.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.3
Évaluez .
Étape 4.3.3.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 4.3.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.3.3.3
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 4.3.3.4
Associez et .
Étape 4.3.3.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.3.3.6
Simplifiez le numérateur.
Étape 4.3.3.6.1
Multipliez par .
Étape 4.3.3.6.2
Soustrayez de .
Étape 4.3.3.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.3.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.5
Simplifiez
Étape 4.3.5.1
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 4.3.5.2
Associez des termes.
Étape 4.3.5.2.1
Multipliez par .
Étape 4.3.5.2.2
Additionnez et .
Étape 4.3.6
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.7
Évaluez .
Étape 4.3.7.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 4.3.7.2
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 4.3.7.3
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 4.3.7.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.3.7.5
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.7.6
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.7.7
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.3.7.8
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.7.9
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 4.3.7.10
Associez et .
Étape 4.3.7.11
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.3.7.12
Simplifiez le numérateur.
Étape 4.3.7.12.1
Multipliez par .
Étape 4.3.7.12.2
Soustrayez de .
Étape 4.3.7.13
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.3.7.14
Associez et .
Étape 4.3.7.15
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 4.3.7.16
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 4.3.7.17
Associez et .
Étape 4.3.7.18
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.3.7.19
Simplifiez le numérateur.
Étape 4.3.7.19.1
Multipliez par .
Étape 4.3.7.19.2
Soustrayez de .
Étape 4.3.7.20
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.3.7.21
Associez et .
Étape 4.3.7.22
Associez et .
Étape 4.3.7.23
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 4.3.7.24
Additionnez et .
Étape 4.3.7.25
Associez et .
Étape 4.3.7.26
Déplacez à gauche de .
Étape 4.3.7.27
Annulez le facteur commun.
Étape 4.3.7.28
Réécrivez l’expression.
Étape 4.3.7.29
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 4.3.7.30
Associez et .
Étape 4.3.7.31
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.3.7.32
Associez et .
Étape 4.3.7.33
Annulez le facteur commun.
Étape 4.3.7.34
Réécrivez l’expression.
Étape 4.3.8
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.9
Simplifiez
Étape 4.3.9.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.3.9.2
Associez des termes.
Étape 4.3.9.2.1
Associez et .
Étape 4.3.9.2.2
Associez et .
Étape 4.3.9.2.3
Déplacez à gauche de .
Étape 4.3.9.2.4
Annulez le facteur commun.
Étape 4.3.9.2.5
Divisez par .
Étape 4.3.9.2.6
Associez et .
Étape 4.3.9.2.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.3.9.2.8
Additionnez et .
Étape 4.3.9.2.9
Factorisez à partir de .
Étape 4.3.9.2.10
Factorisez à partir de .
Étape 4.3.9.2.11
Factorisez à partir de .
Étape 4.3.9.2.12
Annulez les facteurs communs.
Étape 4.3.9.2.12.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.3.9.2.12.2
Annulez le facteur commun.
Étape 4.3.9.2.12.3
Réécrivez l’expression.
Étape 4.3.9.2.12.4
Divisez par .
Étape 4.3.9.2.13
Additionnez et .
Étape 4.4
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 4.5
Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.
Étape 4.5.1
Réécrivez comme .
Étape 4.5.2
Réécrivez comme .
Étape 4.6
Multipliez par .
Étape 4.7
Associez des termes.
Étape 4.7.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 4.7.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5
Étape 5.1
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.2
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 5.3
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 5.4
Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 5.5
Placez la limite sous le radical.
Étape 5.6
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 5.7
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 5.8
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.9
Placez la limite sous le radical.
Étape 5.10
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 5.11
Placez la limite sous le radical.
Étape 6
Étape 6.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 6.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 6.3
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 7
Étape 7.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 7.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 7.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 7.2
Multipliez par .
Étape 7.3
Simplifiez le numérateur.
Étape 7.3.1
Réécrivez comme .
Étape 7.3.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 7.3.3
Multipliez par .
Étape 7.3.4
Multipliez par .
Étape 7.3.5
Soustrayez de .
Étape 7.4
Simplifiez le dénominateur.
Étape 7.4.1
Réécrivez comme .
Étape 7.4.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 7.5
Associez et .
Étape 7.6
Simplifiez le numérateur.
Étape 7.6.1
Réécrivez comme .
Étape 7.6.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 7.7
Multipliez par .
Étape 7.8
Divisez par .
Étape 8
Le résultat peut être affiché en différentes formes.
Forme exacte :
Forme décimale :