Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 2 x^{2} - 4 y^{2} + 2 x + 2 y + 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{2} - 4 y^{2} + 2 x + 2 y + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.3

Comme $- 4 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 x + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 4 x + 0 + 2 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + 0$

Étape 1.6

Associez des termes.

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Étape 1.6.1

Additionnez $- 4 x$ et $0$ .

$- 4 x + 2 + 0 + 0$

Étape 1.6.2

Additionnez $- 4 x + 2$ et $0$ .

$- 4 x + 2 + 0$

Étape 1.6.3

Additionnez $- 4 x + 2$ et $0$ .

$- 4 x + 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = - 4 + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 4 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$f'' (x) = - 4$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 4 x + 2 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.3

Comme $- 4 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 x + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 4 x + 0 + 2 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.5.1

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + 0$

Étape 4.1.6

Associez des termes.

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Étape 4.1.6.1

Additionnez $- 4 x$ et $0$ .

$- 4 x + 2 + 0 + 0$

Étape 4.1.6.2

Additionnez $- 4 x + 2$ et $0$ .

$- 4 x + 2 + 0$

Étape 4.1.6.3

Additionnez $- 4 x + 2$ et $0$ .

$f' (x) = - 4 x + 2$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 x + 2$ .

$- 4 x + 2$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 x + 2 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4 x + 2 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x = - 2$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 2$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 2$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 4}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $- 4$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2$ .

$x = \frac{- 2 (1)}{- 4}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Étape 5.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4$

Étape 9

$x = \frac{1}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{2}$ est un maximum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Étape 10.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{1}{2^{2}} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Étape 10.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{4}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Étape 10.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (- 1) (\frac{1}{4}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Étape 10.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Étape 10.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Étape 10.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 (\frac{1}{2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Étape 10.2.1.5

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$f (\frac{1}{2}) = - (\frac{1}{2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Étape 10.2.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Étape 10.2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 y^{2} + 1 + 2 y + 3$

Étape 10.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + 2 y + 3$

Étape 10.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + \frac{- 1 + 2}{2} + 2 y + 3$

Étape 10.2.2.3

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + \frac{1}{2} + 2 y + 3$

Étape 10.2.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 10.2.4

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Étape 10.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 10.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.6.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1 + 6}{2}$

Étape 10.2.6.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2}$

Étape 10.2.7

La réponse finale est $- 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2}$ .

$y = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2}$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - 2 x^{2} - 4 y^{2} + 2 x + 2 y + 3$ .

$(\frac{1}{2}, - 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2})$ est un maximum local

Étape 12