Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 x - x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 - (2 x)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 - 2 x$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 x + 6$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$f'' (x) = - 2$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2 x + 6 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 - (2 x)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 - 2 x$

Étape 4.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 2 x + 6$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x + 6$ .

$- 2 x + 6$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x + 6 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 x + 6 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 6$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 6$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 6$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 6}{- 2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 6}{- 2}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $- 6$ par $- 2$ .

$x = 3$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2$

Étape 9

$x = 3$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 3$ est un maximum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = 3$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = 6 (3) - {(3)}^{2}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$f (3) = 18 - {(3)}^{2}$

Étape 10.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = 18 - 1 \cdot 9$

Étape 10.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f (3) = 18 - 9$

Étape 10.2.2

Soustrayez $9$ de $18$ .

$f (3) = 9$

Étape 10.2.3

La réponse finale est $9$ .

$y = 9$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 6 x - x^{2}$ .

$(3, 9)$ est un maximum local

Étape 12