Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 - x - x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 1 - (2 x)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 1 - 2 x$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1 - 2 x$

Étape 1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 x - 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$f'' (x) = - 2$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2 x - 1 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 4.1.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = 0 - 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 - 1 - \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - 1 - (2 x)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 0 - 1 - 2 x$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f' (x) = - 1 - 2 x$

Étape 4.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 2 x - 1$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x - 1$ .

$- 2 x - 1$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x - 1 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 x - 1 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 x = 1$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 2 x = 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{- 2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{1}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2$

Étape 9

$x = - \frac{1}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{1}{2}$ est un maximum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{2}) = 5 - (- \frac{1}{2}) - {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Multipliez $- (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 10.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + 1 (\frac{1}{2}) - {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 10.2.1.1.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} - {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 10.2.1.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 10.2.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Étape 10.2.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} - ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Étape 10.2.1.3

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.2.1.3.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{1^{2}}{2^{2}})$

Étape 10.2.1.3.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 10.2.1.3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Étape 10.2.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

Étape 10.2.1.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} + {(- 1)}^{3} (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

Étape 10.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} - \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 10.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{2}}$

Étape 10.2.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Étape 10.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 10.2.2.1

Écrivez $5$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Étape 10.2.2.2

Multipliez $\frac{5}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Étape 10.2.2.3

Multipliez $\frac{5}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Étape 10.2.2.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}$

Étape 10.2.2.5

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}$

Étape 10.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{2}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 10.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5 \cdot 4 + 2 - 1}{4}$

Étape 10.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.4.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{20 + 2 - 1}{4}$

Étape 10.2.4.2

Additionnez $20$ et $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{22 - 1}{4}$

Étape 10.2.4.3

Soustrayez $1$ de $22$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{21}{4}$

Étape 10.2.5

La réponse finale est $\frac{21}{4}$ .

$y = \frac{21}{4}$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 5 - x - x^{2}$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{21}{4})$ est un maximum local

Étape 12