Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x^{2} + 4 x - 6$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} + 4 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$10 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 x + 4 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $10 x + 4$ et $0$ .

$10 x + 4$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.2.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$f'' (x) = 10 + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 10 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $10$ et $0$ .

$f'' (x) = 10$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$10 x + 4 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} + 4 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 5 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$f' (x) = 10 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 10 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 10 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (x) = 10 x + 4 + \frac{d}{d x} (- 6)$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 10 x + 4 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $10 x + 4$ et $0$ .

$f' (x) = 10 x + 4$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $10 x + 4$ .

$10 x + 4$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $10 x + 4 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$10 x + 4 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$10 x = - 4$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $10 x = - 4$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $10 x = - 4$ par $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 4}{10}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 4}{10}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{10}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $10$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{10}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

Étape 5.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 2}{5}$

Étape 5.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{5}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{2}{5}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{2}{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$10$

Étape 9

$x = - \frac{2}{5}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{2}{5}$ est un minimum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{2}{5}$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{2}{5}$ dans l’expression.

$f (- \frac{2}{5}) = 5 {(- \frac{2}{5})}^{2} + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 10.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{5}$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Étape 10.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{5}$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{5^{2}})) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Étape 10.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (1 (\frac{2^{2}}{5^{2}})) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Étape 10.2.1.3

Multipliez $\frac{2^{2}}{5^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (\frac{2^{2}}{5^{2}}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Étape 10.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5^{2}}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Étape 10.2.1.5

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{25}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Étape 10.2.1.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 10.2.1.6.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5 (5)}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Étape 10.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5 \cdot 5}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Étape 10.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

Étape 10.2.1.7

Multipliez $4 (- \frac{2}{5})$ .

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Étape 10.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} - 4 (\frac{2}{5}) - 6$

Étape 10.2.1.7.2

Associez $- 4$ et $\frac{2}{5}$ .

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + \frac{- 4 \cdot 2}{5} - 6$

Étape 10.2.1.7.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + \frac{- 8}{5} - 6$

Étape 10.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} - \frac{8}{5} - 6$

Étape 10.2.2

Associez les fractions.

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Étape 10.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2}{5}) = - 6 + \frac{4 - 8}{5}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.2.2.1

Soustrayez $8$ de $4$ .

$f (- \frac{2}{5}) = - 6 + \frac{- 4}{5}$

Étape 10.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2}{5}) = - 6 - \frac{4}{5}$

Étape 10.2.3

Pour écrire $- 6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{2}{5}) = - 6 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Étape 10.2.4

Associez $- 6$ et $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{- 6 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

Étape 10.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{- 6 \cdot 5 - 4}{5}$

Étape 10.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.6.1

Multipliez $- 6$ par $5$ .

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{- 30 - 4}{5}$

Étape 10.2.6.2

Soustrayez $4$ de $- 30$ .

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{- 34}{5}$

Étape 10.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2}{5}) = - \frac{34}{5}$

Étape 10.2.8

La réponse finale est $- \frac{34}{5}$ .

$y = - \frac{34}{5}$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 5 x^{2} + 4 x - 6$ .

$(- \frac{2}{5}, - \frac{34}{5})$ est un minimum local

Étape 12