Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 3$ et $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 3) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 3) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $x - 3$ par $1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.2.1

Associez les termes opposés dans $x - 3 - x - 1 \cdot 3$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 3 - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$\frac{- 3 - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 3 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.3.2.3

Soustrayez $3$ de $- 3$ .

$\frac{- 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ comme ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2 \cdot - 1}$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 2}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = x - 3$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 3$ .

$f'' (x) = - 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 3))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 6 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 3$ .

$f'' (x) = - 6 (- 2 {(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$f'' (x) = 12 ({(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

Étape 2.3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (1 + 0)$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} \cdot 1$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

Étape 2.4.2

Associez $12$ et $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{{(x - 3)}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Étape 4

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 5

Aucun extremum local

Étape 6