Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} - 8 \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 8 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 8 \frac{1}{x}$

Étape 1.2.3

Associez $- 8$ et $\frac{1}{x}$ .

$2 x + \frac{- 8}{x}$

Étape 1.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x - \frac{8}{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \frac{8}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x})$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{8}{x}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 2 - 8 \frac{d}{d x} \frac{1}{x}$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - 8 \frac{d}{d x} x^{- 1}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 8 (- x^{- 2})$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$f'' (x) = 2 + 8 x^{- 2}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 8 (\frac{1}{x^{2}})$

Étape 2.4.2

Associez $8$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{8}{x^{2}}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{8}{x^{2}} + 2$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 x - \frac{8}{x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 8 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 4.1.2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 8 \frac{1}{x}$

Étape 4.1.2.3

Associez $- 8$ et $\frac{1}{x}$ .

$2 x + \frac{- 8}{x}$

Étape 4.1.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 2 x - \frac{8}{x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - \frac{8}{x}$ .

$2 x - \frac{8}{x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - \frac{8}{x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - \frac{8}{x} = 0$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x, 1$

Étape 5.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $2 x - \frac{8}{x} = 0$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $2 x - \frac{8}{x} = 0$ par $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{8}{x} x = 0 x$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{8}{x} x = 0 x$

Étape 5.3.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} - \frac{8}{x} x = 0 x$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8}{x}$ dans le numérateur.

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

Étape 5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

Étape 5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} - 8 = 0 x$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $0$ par $x$ .

$2 x^{2} - 8 = 0$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = 8$

Étape 5.4.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 8$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 8$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Étape 5.4.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{8}{2}$

Étape 5.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.3.1

Divisez $8$ par $2$ .

$x^{2} = 4$

Étape 5.4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 5.4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 5.4.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 5.4.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 5.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 5.4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 5.4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{8}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{8}{{(2)}^{2}} + 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{8}{4} + 2$

Étape 9.1.2

Divisez $8$ par $4$ .

$2 + 2$

Étape 9.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$4$

Étape 10

$x = 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = {(2)}^{2} - 8 \ln (2)$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 4 - 8 \ln (2)$

Étape 11.2.1.2

Simplifiez $- 8 \ln (2)$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$f (2) = 4 - \ln (2^{8})$

Étape 11.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $8$ .

$f (2) = 4 - \ln (256)$

Étape 11.2.2

La réponse finale est $4 - \ln (256)$ .

$y = 4 - \ln (256)$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{2} - 8 \ln (x)$ .

$(2, 4 - \ln (256))$ est un minimum local

Étape 13