Calcul infinitésimal Exemples

$y = x e^{- x}$

Étape 1

Écrivez $y = x e^{- x}$ comme une fonction.

$f (x) = x e^{- x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Étape 2.3.5

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Étape 2.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x e^{- x} + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x$ .

$f'' (x) = - (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 3.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 3.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 3.2.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 3.2.9

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 3.2.10

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

Étape 3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

Étape 3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Étape 3.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Étape 3.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 3.3.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}$

Étape 3.3.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}$

Étape 3.4.2.3

Soustrayez $e^{- x}$ de $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = e^{- x} x - 2 e^{- x}$

Étape 3.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x} x - 2 e^{- x}$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 5.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.3

Différenciez.

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f' (x) = x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.3.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Étape 5.1.3.5

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - e^{- x} x + e^{- x}$

Étape 5.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

Étape 6.2

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- x e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

Étape 6.2.2

Multipliez par $1$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ .

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

Étape 6.4

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ .

$e^{- x} = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $e^{- x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Étape 6.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 6.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x} = 0$

Aucune solution

Étape 6.5

Définissez $- x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $- x + 1$ égal à $0$ .

$- x + 1 = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $- x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 6.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{- x} (- x + 1) = 0$ vraie.

$x = 1$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$(1) e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Multipliez $e^{- (1)}$ par $1$ .

$e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{- 1} - 2 e^{- (1)}$

Étape 10.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - 2 e^{- (1)}$

Étape 10.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{e} - 2 e^{- 1}$

Étape 10.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - 2 \frac{1}{e}$

Étape 10.1.6

Associez $- 2$ et $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e} + \frac{- 2}{e}$

Étape 10.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{e} - \frac{2}{e}$

Étape 10.2

Associez les fractions.

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Étape 10.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 2}{e}$

Étape 10.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.2.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{e}$

Étape 10.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{e}$

Étape 11

$x = 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Multipliez $e^{- (1)}$ par $1$ .

$f (1) = e^{- (1)}$

Étape 12.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = e^{- 1}$

Étape 12.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e}$

Étape 12.2.4

La réponse finale est $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x e^{- x}$ .

$(1, \frac{1}{e})$ est un maximum local

Étape 14