Calcul infinitésimal Exemples

$G (x) = - 2 x^{4} + 20 x^{2} - 18$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{4} + 20 x^{2} - 18$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [20 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20 x^{2}$ par rapport à $x$ est $20 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 8 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 8 x^{3} + 20 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $20$ .

$- 8 x^{3} + 40 x + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 8 x^{3} + 40 x + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $- 8 x^{3} + 40 x$ et $0$ .

$- 8 x^{3} + 40 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 8 x^{3} + 40 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x]$ .

$G'' (x) = \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (40 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$G'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (40 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$G'' (x) = - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (40 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$G'' (x) = - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (40 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [40 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $40$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $40 x$ par rapport à $x$ est $40 \frac{d}{d x} [x]$ .

$G'' (x) = - 24 x^{2} + 40 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$G'' (x) = - 24 x^{2} + 40 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $40$ par $1$ .

$G'' (x) = - 24 x^{2} + 40$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 8 x^{3} + 40 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{4} + 20 x^{2} - 18$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [20 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20 x^{2}$ par rapport à $x$ est $20 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 8 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 8 x^{3} + 20 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $20$ .

$- 8 x^{3} + 40 x + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 8 x^{3} + 40 x + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $- 8 x^{3} + 40 x$ et $0$ .

$f' (x) = - 8 x^{3} + 40 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $G (x)$ par rapport à $x$ est $- 8 x^{3} + 40 x$ .

$- 8 x^{3} + 40 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 8 x^{3} + 40 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 8 x^{3} + 40 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 8 x^{3} + 40 x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} + 40 x = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $- 8 x$ à partir de $40 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot - 5 = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 8 x (x^{2}) - 8 x (- 5)$ .

$- 8 x (x^{2} - 5) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 5 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x^{2} - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x^{2} - 5$ égal à $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $x^{2} - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 5$

Étape 5.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{5}$

Étape 5.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{5}$

Étape 5.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{5}$

Étape 5.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 8 x (x^{2} - 5) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 24 {(0)}^{2} + 40$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 24 \cdot 0 + 40$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 24$ par $0$ .

$0 + 40$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $40$ .

$40$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$G (0) = - 2 {(0)}^{4} + 20 {(0)}^{2} - 18$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$G (0) = - 2 \cdot 0 + 20 {(0)}^{2} - 18$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$G (0) = 0 + 20 {(0)}^{2} - 18$

Étape 11.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$G (0) = 0 + 20 \cdot 0 - 18$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $20$ par $0$ .

$G (0) = 0 + 0 - 18$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$G (0) = 0 - 18$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $18$ de $0$ .

$G (0) = - 18$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 18$ .

$y = - 18$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 24 {(\sqrt{5})}^{2} + 40$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 13.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$- 24 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 40$

Étape 13.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 24 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 40$

Étape 13.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 24 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 40$

Étape 13.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 24 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 40$

Étape 13.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 24 \cdot 5^{1} + 40$

Étape 13.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$- 24 \cdot 5 + 40$

Étape 13.1.2

Multipliez $- 24$ par $5$ .

$- 120 + 40$

Étape 13.2

Additionnez $- 120$ et $40$ .

$- 80$

Étape 14

$x = \sqrt{5}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \sqrt{5}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \sqrt{5}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{5}$ dans l’expression.

$G (\sqrt{5}) = - 2 {(\sqrt{5})}^{4} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{4}$ comme $5^{2}$ .

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Étape 15.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 15.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 15.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{4}{2}} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 15.2.1.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 15.2.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 15.2.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 15.2.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 15.2.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2}{1}} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 15.2.1.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{2} + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 15.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$G (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 25 + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $25$ .

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 {(\sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 15.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 15.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 18$

Étape 15.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 18$

Étape 15.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 18$

Étape 15.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 18$

Étape 15.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5 - 18$

Étape 15.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5 - 18$

Étape 15.2.1.5

Multipliez $20$ par $5$ .

$G (\sqrt{5}) = - 50 + 100 - 18$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.2.2.1

Additionnez $- 50$ et $100$ .

$G (\sqrt{5}) = 50 - 18$

Étape 15.2.2.2

Soustrayez $18$ de $50$ .

$G (\sqrt{5}) = 32$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $32$ .

$y = 32$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \sqrt{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 24 {(- \sqrt{5})}^{2} + 40$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{5}$ .

$- 24 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}) + 40$

Étape 17.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 24 (1 {\sqrt{5}}^{2}) + 40$

Étape 17.1.3

Multipliez ${\sqrt{5}}^{2}$ par $1$ .

$- 24 {\sqrt{5}}^{2} + 40$

Étape 17.1.4

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 17.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$- 24 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 40$

Étape 17.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 24 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 40$

Étape 17.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 24 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 40$

Étape 17.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 24 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 40$

Étape 17.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 24 \cdot 5^{1} + 40$

Étape 17.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$- 24 \cdot 5 + 40$

Étape 17.1.5

Multipliez $- 24$ par $5$ .

$- 120 + 40$

Étape 17.2

Additionnez $- 120$ et $40$ .

$- 80$

Étape 18

$x = - \sqrt{5}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \sqrt{5}$ est un maximum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = - \sqrt{5}$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{5}$ dans l’expression.

$G (- \sqrt{5}) = - 2 {(- \sqrt{5})}^{4} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{5}$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{5}}^{4}) + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 19.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 (1 {\sqrt{5}}^{4}) + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 19.2.1.3

Multipliez ${\sqrt{5}}^{4}$ par $1$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 {\sqrt{5}}^{4} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 19.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{4}$ comme $5^{2}$ .

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Étape 19.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 19.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 19.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{4}{2}} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 19.2.1.4.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 19.2.1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 19.2.1.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.1.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 19.2.1.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 19.2.1.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{\frac{2}{1}} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 19.2.1.4.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{2} + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 19.2.1.5

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 25 + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 19.2.1.6

Multipliez $- 2$ par $25$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 {(- \sqrt{5})}^{2} - 18$

Étape 19.2.1.7

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{5}$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}) - 18$

Étape 19.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 (1 {\sqrt{5}}^{2}) - 18$

Étape 19.2.1.9

Multipliez ${\sqrt{5}}^{2}$ par $1$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 {\sqrt{5}}^{2} - 18$

Étape 19.2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 19.2.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 18$

Étape 19.2.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 18$

Étape 19.2.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 18$

Étape 19.2.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 18$

Étape 19.2.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5 - 18$

Étape 19.2.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 20 \cdot 5 - 18$

Étape 19.2.1.11

Multipliez $20$ par $5$ .

$G (- \sqrt{5}) = - 50 + 100 - 18$

Étape 19.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 19.2.2.1

Additionnez $- 50$ et $100$ .

$G (- \sqrt{5}) = 50 - 18$

Étape 19.2.2.2

Soustrayez $18$ de $50$ .

$G (- \sqrt{5}) = 32$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $32$ .

$y = 32$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $G (x) = - 2 x^{4} + 20 x^{2} - 18$ .

$(0, - 18)$ est un minimum local

$(\sqrt{5}, 32)$ est un maximum local

$(- \sqrt{5}, 32)$ est un maximum local

Étape 21