Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$1 - \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Étape 2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \cos (x)$

Étape 2.3

Soustrayez $\cos (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$1 - \sin (x) = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \sin (x) = - 1$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.2.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Étape 6

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (1)$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 8

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 9

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 9.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 9.2

Associez les fractions.

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Étape 9.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 9.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 9.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 10

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{π}{2}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \cos (\frac{π}{2})$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 12.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- 0$

Étape 12.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$

Étape 13

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 13.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \infty)$

Étape 13.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, \frac{π}{2})$ dans la dérivée première $1 - \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 13.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 1 - \sin (0)$

Étape 13.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f' (0) = 1 - 0$

Étape 13.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f' (0) = 1 + 0$

Étape 13.2.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (0) = 1$

Étape 13.2.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 13.3

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(\frac{π}{2}, \infty)$ dans la dérivée première $1 - \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 13.3.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 1 - \sin (4)$

Étape 13.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.3.2.1.1

Évaluez $\sin (4)$ .

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

Étape 13.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

Étape 13.3.2.2

Additionnez $1$ et $0.75680249$ .

$f' (4) = 1.75680249$

Étape 13.3.2.3

La réponse finale est $1.75680249$ .

$1.75680249$

Étape 13.4

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = \frac{π}{2}$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 13.5

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = x + \cos (x)$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 14